GENIE des MATHS > 100% forax :ok:

Le 07 avril 2022 à 18:13:59 :

Le 07 avril 2022 à 18:08:19 :

Le 07 avril 2022 à 18:04:09 :

Le 07 avril 2022 à 18:00:28 :

Le 07 avril 2022 à 17:56:44 :
L'auteur tu es chercheur en maths ?
Je suis en Terminale spé maths et j'aimerais beaucoup faire des maths "pures" plus tard, sur PS j'ai ajouté des L1 de maths/maths-info et des MPSI
Entre la licence de maths de l'UPMC et celle de Paris-Saclay c'est laquelle qui propose plus tard les meilleurs masters en maths fondas ?
Et comment ça marche exactement les admissions à l'ENS sans passer par une prépa ? Je sais que c'est par dossier mais on peut aussi passer le concours ?

Oui, je suis maître de conférences.

Il me semble que c'est que sur dossier seulement pour intégrer une ENS depuis la fac.

Entre les masters de l'UPMC et de Paris-Saclay, à ma connaissance, c'est équivalent.

D'accord merci beaucoup, j'ai une autre question si t'as le temps, c'est quoi exactement la différence de formation et de programmes entre un master de maths fondas à ULM et un master en maths fondas à UPMC ou Saclay par exemple ? Il y a plus de choix ? De spécialisons ? De ressources ?
Il y a tellement de trucs dans les parcours de maths à voir et à faire je m'y perds énormément

Je dirais qu'à Ulm, tu feras des trucs très poussés à un rythme soutenu. A Paris-Saclay, si tu fais un magistère (ou si ça s'appelle plus comme ça, l'équivalent actuel), ce sera pas aussi soutenu que dans une ENS mais bien soutenu/avancé quand même. Et à l'UPMC, la L3 ira a un rythme plus tranquille.

Une filière qui va 3 fois trop vite ou 3 fois trop lentement pour toi, c'est pas le top, donc l'idée serait de trouver celle qui va le mieux pour toi. Sachant qu'une fois rendu aux master de recherche, les grandes facs se valent.

Merci, déjà me rendre dans un master sélectif fondas, que ça soit en fac ou à l'ULM, ça serait déjà pas mal et très dur à accomplir pour moi, je connaissais pas du tout tes topics sur les maths et les parcours à suivre c'est cool, je vais essayer de tout lire
Et juste par curiosité, tes travaux à l'heure actuelle portent sur quoi exactement si tu peux le dire ?

Je vais rester nimbé d'anonymat, sorry

Le 07 avril 2022 à 18:15:06 :

Le 07 avril 2022 à 18:13:59 :

Le 07 avril 2022 à 18:08:19 :

Le 07 avril 2022 à 18:04:09 :

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L'auteur tu es chercheur en maths ?
Je suis en Terminale spé maths et j'aimerais beaucoup faire des maths "pures" plus tard, sur PS j'ai ajouté des L1 de maths/maths-info et des MPSI
Entre la licence de maths de l'UPMC et celle de Paris-Saclay c'est laquelle qui propose plus tard les meilleurs masters en maths fondas ?
Et comment ça marche exactement les admissions à l'ENS sans passer par une prépa ? Je sais que c'est par dossier mais on peut aussi passer le concours ?

Oui, je suis maître de conférences.

Il me semble que c'est que sur dossier seulement pour intégrer une ENS depuis la fac.

Entre les masters de l'UPMC et de Paris-Saclay, à ma connaissance, c'est équivalent.

D'accord merci beaucoup, j'ai une autre question si t'as le temps, c'est quoi exactement la différence de formation et de programmes entre un master de maths fondas à ULM et un master en maths fondas à UPMC ou Saclay par exemple ? Il y a plus de choix ? De spécialisons ? De ressources ?
Il y a tellement de trucs dans les parcours de maths à voir et à faire je m'y perds énormément

Je dirais qu'à Ulm, tu feras des trucs très poussés à un rythme soutenu. A Paris-Saclay, si tu fais un magistère (ou si ça s'appelle plus comme ça, l'équivalent actuel), ce sera pas aussi soutenu que dans une ENS mais bien soutenu/avancé quand même. Et à l'UPMC, la L3 ira a un rythme plus tranquille.

Une filière qui va 3 fois trop vite ou 3 fois trop lentement pour toi, c'est pas le top, donc l'idée serait de trouver celle qui va le mieux pour toi. Sachant qu'une fois rendu aux master de recherche, les grandes facs se valent.

Merci, déjà me rendre dans un master sélectif fondas, que ça soit en fac ou à l'ULM, ça serait déjà pas mal et très dur à accomplir pour moi, je connaissais pas du tout tes topics sur les maths et les parcours à suivre c'est cool, je vais essayer de tout lire
Et juste par curiosité, tes travaux à l'heure actuelle portent sur quoi exactement si tu peux le dire ?

Je vais rester nimbé d'anonymat, sorry

Je comprends pas de soucis

Le 07 avril 2022 à 18:12:43 :

Le 07 avril 2022 à 18:09:20 :

Le 07 avril 2022 à 18:03:26 :

Le 07 avril 2022 à 17:59:03 :

Le 07 avril 2022 à 17:50:52 :

Le 07 avril 2022 à 17:44:57 :

Le 07 avril 2022 à 15:40:31 :
Je vous mets au défi de trouver un truc que je comprends pas en maths. Les kheys ont essayé tout à l'heure et personne n'a réussi à égratigner ma superbe

j'ai déjà discuté avec un khey qui avait une signature très similaire, il était pas en seconde

ah bon ?

Oui

Petite question qui t'intéressera peut-être : On note f l'indicatrice de Q et g(t,x) = f(x-t). Pour chaque t la fonction g(t, ) est nulle presque partout, on devrait donc en déduire trivialement que g(t, ) tend vers la fonction nulle presque partout lorsque t tend vers 0. Cependant pour tout x réel la famille g(t,x) n'admet pas de limite lorsque t tend vers 0. Comment ça se fait ?

La convergence presque sûre n'est pas topologisable : ce n'est pas une notion de convergence provenant d'une topologie. Il y a quelque chose de fondamentalement "dénombrable" dedans.

Après si tu prends t_n une suite qui tend vers 0, alors g(t_n,x) converge presque sûrement vers 0.

C'est rigolo car je pensais justement à la non-topologisabilité de cette notion de convergence ce midi.

Effectivement
En fait c'est assez marrant, la convergence d'une famille non dénombrable de fonctions définies seulement à égalité presque partout n'est pas bien définie. En particulier cette convergence dépendrait du choix des représentants des fonctions. Cela vient du fait qu'une réunion indénombrables de négligeables n'est plus forcément négligeable.
Il y a d'ailleurs des détails non triviaux de ce côté là quand on veut utiliser le théorème de convergence dominée pour déterminer des limites d'intégrales à paramètres. Surtout si les fonctions intégrées ne sont définies qu'a égalité presque partout près. Détails qui sont très souvent glissés sous le tapis sans être évoqués.

En effet. La plupart du temps, ça se rafistole bien en constatant que pour les convergences qu'on veut montrer (typiquement, une intégrale dépend d'un paramètre réel et on veut étudier sa convergence quand le paramètre tend vers un truc), la continuité est équivalente à la continuité séquentielle. On se ramène donc aux suites avant de commencer à faire de la convergence dominée ou des trucs du genre.

Quelques autres devinettes en théorie de la mesure si ça t'amuses.
La première est assez classique, je crois :
1) Est-ce qu'il existe un ensemble mesurable E inclus dans [0;1] tel que pour tout intervalle I inclus dans [0;1] on ait m(E\cap I)= m(I)/2 où m représente la mesure de Lebesgue ?et avec la condition 0< m(E\cap I)<1 ?
2) On sait que toute fonction riemann-intégrable est mesurable, mais sont-elles toutes boréliennes ?
3) Soit E un ensemble mesurable tel que m(E) >0, quel est le cardinal de E ? Sans utiliser l'hypothèse du continu évidemment.

Je trouve la réponse à la 3 assez intéressante mais malheureusement je ne sais pas le démontrer sans utiliser https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Steinhaus .

Le 07 avril 2022 à 18:29:51 :
montrer qu’une fonction de [0,1] à variations bornées (ie chemin rectifiable) s’écrit comme la différence de deux fonctions monotones

f = (f-g) + g où g(t) est la variation totale de f sur [0;t]

Pas très sympas de supprimer son message

Le 07 avril 2022 à 18:22:35 :

Le 07 avril 2022 à 18:12:43 :

Le 07 avril 2022 à 18:09:20 :

Le 07 avril 2022 à 18:03:26 :

Le 07 avril 2022 à 17:59:03 :

Le 07 avril 2022 à 17:50:52 :

Le 07 avril 2022 à 17:44:57 :

Le 07 avril 2022 à 15:40:31 :
Je vous mets au défi de trouver un truc que je comprends pas en maths. Les kheys ont essayé tout à l'heure et personne n'a réussi à égratigner ma superbe

j'ai déjà discuté avec un khey qui avait une signature très similaire, il était pas en seconde

ah bon ?

Oui

Petite question qui t'intéressera peut-être : On note f l'indicatrice de Q et g(t,x) = f(x-t). Pour chaque t la fonction g(t, ) est nulle presque partout, on devrait donc en déduire trivialement que g(t, ) tend vers la fonction nulle presque partout lorsque t tend vers 0. Cependant pour tout x réel la famille g(t,x) n'admet pas de limite lorsque t tend vers 0. Comment ça se fait ?

La convergence presque sûre n'est pas topologisable : ce n'est pas une notion de convergence provenant d'une topologie. Il y a quelque chose de fondamentalement "dénombrable" dedans.

Après si tu prends t_n une suite qui tend vers 0, alors g(t_n,x) converge presque sûrement vers 0.

C'est rigolo car je pensais justement à la non-topologisabilité de cette notion de convergence ce midi.

Effectivement
En fait c'est assez marrant, la convergence d'une famille non dénombrable de fonctions définies seulement à égalité presque partout n'est pas bien définie. En particulier cette convergence dépendrait du choix des représentants des fonctions. Cela vient du fait qu'une réunion indénombrables de négligeables n'est plus forcément négligeable.
Il y a d'ailleurs des détails non triviaux de ce côté là quand on veut utiliser le théorème de convergence dominée pour déterminer des limites d'intégrales à paramètres. Surtout si les fonctions intégrées ne sont définies qu'a égalité presque partout près. Détails qui sont très souvent glissés sous le tapis sans être évoqués.

En effet. La plupart du temps, ça se rafistole bien en constatant que pour les convergences qu'on veut montrer (typiquement, une intégrale dépend d'un paramètre réel et on veut étudier sa convergence quand le paramètre tend vers un truc), la continuité est équivalente à la continuité séquentielle. On se ramène donc aux suites avant de commencer à faire de la convergence dominée ou des trucs du genre.

Quelques autres devinettes en théorie de la mesure si ça t'amuses.
La première est assez classique, je crois :
1) Est-ce qu'il existe un ensemble mesurable E inclus dans [0;1] tel que pour tout intervalle I inclus dans [0;1] on ait m(E\cap I)= m(I)/2 où m représente la mesure de Lebesgue ?et avec la condition 0< m(E\cap I)<1 ?
2) On sait que toute fonction riemann-intégrable est mesurable, mais sont-elles toutes boréliennes ?
3) Soit E un ensemble mesurable tel que m(E) >0, quel est le cardinal de E ? Sans utiliser l'hypothèse du continu évidemment.

Je trouve la réponse à la 3 assez intéressante mais malheureusement je ne sais pas le démontrer sans utiliser https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Steinhaus .

1. Non. On pourrait étendre cette propriété à tout I borélien donc l'appliquer à E lui-même donc E serait de mesure nulle ce qui ne marche pas pour I = [0,1]. On peut aussi le faire avec les points de densité de Lebesgue pour la fonction indicatrice de E.

La version spoil, c'est possible, je visualise une construction type Cantor gras sauf qu'on doit rajouter puis enlever des trucs à l'infini, un peu technique...

2. Pas assez titillé pour y réfléchir mais dans l'absolu ça doit être intéressant.

3. On travaille toujours avec m qui est la mesure de Lebesgue sur [0,1], j'imagine... Ca semble objectivement intéressant mais flemme + la démonstration me vient pas instantanément + pas assez titillé là tout de suite maintenant.

Si tu connais pas l'intégrale KH, ça peut éventuellement t'intéresser.

Une question que j'aime bien est : soit un espace de proba tel que pour tout événement A vérifiant P(A)>0, il existe un sous-événement B tel que P(B) soit strictement entre 0 et P(A). Est-il nécessairement le cas qu'il existe un événement de probabilité 1/2 ? (c'est de la théorie de la mesure, c'est pas des probas)

Le 07 avril 2022 à 18:24:24 :
Pourquoi les mathématiques sont si dure ?

Je sais pas. Il y a aussi la protoquestion : sont-elles si dures ?

Après, j'imagine que l'aspect abstrait + le côté pyramidal (chaque étage bâti sur ceux d'avant) qui pardonne pas trop contribuent à cela.

Le 07 avril 2022 à 18:22:35 :

Le 07 avril 2022 à 18:12:43 :

Le 07 avril 2022 à 18:09:20 :

Le 07 avril 2022 à 18:03:26 :

Le 07 avril 2022 à 17:59:03 :

Le 07 avril 2022 à 17:50:52 :

Le 07 avril 2022 à 17:44:57 :

Le 07 avril 2022 à 15:40:31 :
Je vous mets au défi de trouver un truc que je comprends pas en maths. Les kheys ont essayé tout à l'heure et personne n'a réussi à égratigner ma superbe

j'ai déjà discuté avec un khey qui avait une signature très similaire, il était pas en seconde

ah bon ?

Oui

Petite question qui t'intéressera peut-être : On note f l'indicatrice de Q et g(t,x) = f(x-t). Pour chaque t la fonction g(t, ) est nulle presque partout, on devrait donc en déduire trivialement que g(t, ) tend vers la fonction nulle presque partout lorsque t tend vers 0. Cependant pour tout x réel la famille g(t,x) n'admet pas de limite lorsque t tend vers 0. Comment ça se fait ?

La convergence presque sûre n'est pas topologisable : ce n'est pas une notion de convergence provenant d'une topologie. Il y a quelque chose de fondamentalement "dénombrable" dedans.

Après si tu prends t_n une suite qui tend vers 0, alors g(t_n,x) converge presque sûrement vers 0.

C'est rigolo car je pensais justement à la non-topologisabilité de cette notion de convergence ce midi.

Effectivement
En fait c'est assez marrant, la convergence d'une famille non dénombrable de fonctions définies seulement à égalité presque partout n'est pas bien définie. En particulier cette convergence dépendrait du choix des représentants des fonctions. Cela vient du fait qu'une réunion indénombrables de négligeables n'est plus forcément négligeable.
Il y a d'ailleurs des détails non triviaux de ce côté là quand on veut utiliser le théorème de convergence dominée pour déterminer des limites d'intégrales à paramètres. Surtout si les fonctions intégrées ne sont définies qu'a égalité presque partout près. Détails qui sont très souvent glissés sous le tapis sans être évoqués.

En effet. La plupart du temps, ça se rafistole bien en constatant que pour les convergences qu'on veut montrer (typiquement, une intégrale dépend d'un paramètre réel et on veut étudier sa convergence quand le paramètre tend vers un truc), la continuité est équivalente à la continuité séquentielle. On se ramène donc aux suites avant de commencer à faire de la convergence dominée ou des trucs du genre.

Quelques autres devinettes en théorie de la mesure si ça t'amuses.
La première est assez classique, je crois :
1) Est-ce qu'il existe un ensemble mesurable E inclus dans [0;1] tel que pour tout intervalle I inclus dans [0;1] on ait m(E\cap I)= m(I)/2 où m représente la mesure de Lebesgue ?et avec la condition 0< m(E\cap I)<1 ?
2) On sait que toute fonction riemann-intégrable est mesurable, mais sont-elles toutes boréliennes ?
3) Soit E un ensemble mesurable tel que m(E) >0, quel est le cardinal de E ? Sans utiliser l'hypothèse du continu évidemment.

Je trouve la réponse à la 3 assez intéressante mais malheureusement je ne sais pas le démontrer sans utiliser https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Steinhaus .

Pour la question 3, tu utilises le fait que si un ensemble A est tel que A² a la puissance du continu, alors A a la puissance du continu, nan ? Mais ce fait n'est-il pas indécidable en l'absence d'axiome du choix ? Vraie question, c'est pas rhétorique.

Le 07 avril 2022 à 15:58:42 :
Tentative éco+ de refaire le topic du fameux L1 qui était enfait à Ulm

Le 07 avril 2022 à 18:40:21 :

Le 07 avril 2022 à 18:24:24 :
Pourquoi les mathématiques sont si dure ?

Je sais pas. Il y a aussi la protoquestion : sont-elles si dures ?

Après, j'imagine que l'aspect abstrait + le côté pyramidal (chaque étage bâti sur ceux d'avant) qui pardonne pas trop contribuent à cela.

Elles sont dures pour le cerveau humain lambda je veux dire.

Le 07 avril 2022 à 18:43:18 :
Salut khey
Cette question ne s’adresse pas obligatoirement à toi mais a l’ensemble des khey matheux du topic
Je suis à la recherche de bouquins ou de ressources sur Internet pour maîtriser au mieux les notions d’analyse, algèbre linéaire et algèbre jusqu’au niveau bac+3 voire bac+4
J’ai déjà fait des études en maths mais mon niveau était plutôt faible donc j’aimerais me remettre dedans (je ne prépare pas quelque chose en particulier mais j’aimerais ne pas oublier les différentes notions)

Vas sur z library tu trouveras tout ca

Le 07 avril 2022 à 18:37:48 :

Le 07 avril 2022 à 18:22:35 :

Le 07 avril 2022 à 18:12:43 :

Le 07 avril 2022 à 18:09:20 :

Le 07 avril 2022 à 18:03:26 :

Le 07 avril 2022 à 17:59:03 :

Le 07 avril 2022 à 17:50:52 :

Le 07 avril 2022 à 17:44:57 :

Le 07 avril 2022 à 15:40:31 :
Je vous mets au défi de trouver un truc que je comprends pas en maths. Les kheys ont essayé tout à l'heure et personne n'a réussi à égratigner ma superbe

j'ai déjà discuté avec un khey qui avait une signature très similaire, il était pas en seconde

ah bon ?

Oui

Petite question qui t'intéressera peut-être : On note f l'indicatrice de Q et g(t,x) = f(x-t). Pour chaque t la fonction g(t, ) est nulle presque partout, on devrait donc en déduire trivialement que g(t, ) tend vers la fonction nulle presque partout lorsque t tend vers 0. Cependant pour tout x réel la famille g(t,x) n'admet pas de limite lorsque t tend vers 0. Comment ça se fait ?

La convergence presque sûre n'est pas topologisable : ce n'est pas une notion de convergence provenant d'une topologie. Il y a quelque chose de fondamentalement "dénombrable" dedans.

Après si tu prends t_n une suite qui tend vers 0, alors g(t_n,x) converge presque sûrement vers 0.

C'est rigolo car je pensais justement à la non-topologisabilité de cette notion de convergence ce midi.

Effectivement
En fait c'est assez marrant, la convergence d'une famille non dénombrable de fonctions définies seulement à égalité presque partout n'est pas bien définie. En particulier cette convergence dépendrait du choix des représentants des fonctions. Cela vient du fait qu'une réunion indénombrables de négligeables n'est plus forcément négligeable.
Il y a d'ailleurs des détails non triviaux de ce côté là quand on veut utiliser le théorème de convergence dominée pour déterminer des limites d'intégrales à paramètres. Surtout si les fonctions intégrées ne sont définies qu'a égalité presque partout près. Détails qui sont très souvent glissés sous le tapis sans être évoqués.

En effet. La plupart du temps, ça se rafistole bien en constatant que pour les convergences qu'on veut montrer (typiquement, une intégrale dépend d'un paramètre réel et on veut étudier sa convergence quand le paramètre tend vers un truc), la continuité est équivalente à la continuité séquentielle. On se ramène donc aux suites avant de commencer à faire de la convergence dominée ou des trucs du genre.

Quelques autres devinettes en théorie de la mesure si ça t'amuses.
La première est assez classique, je crois :
1) Est-ce qu'il existe un ensemble mesurable E inclus dans [0;1] tel que pour tout intervalle I inclus dans [0;1] on ait m(E\cap I)= m(I)/2 où m représente la mesure de Lebesgue ?et avec la condition 0< m(E\cap I)<1 ?
2) On sait que toute fonction riemann-intégrable est mesurable, mais sont-elles toutes boréliennes ?
3) Soit E un ensemble mesurable tel que m(E) >0, quel est le cardinal de E ? Sans utiliser l'hypothèse du continu évidemment.

Je trouve la réponse à la 3 assez intéressante mais malheureusement je ne sais pas le démontrer sans utiliser https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Steinhaus .

1. Non. On pourrait étendre cette propriété à tout I borélien donc l'appliquer à E lui-même donc E serait de mesure nulle ce qui ne marche pas pour I = [0,1]. On peut aussi le faire avec les points de densité de Lebesgue pour la fonction indicatrice de E.

La version spoil, c'est possible, je visualise une construction type Cantor gras sauf qu'on doit rajouter puis enlever des trucs à l'infini, un peu technique...

2. Pas assez titillé pour y réfléchir mais dans l'absolu ça doit être intéressant.

3. On travaille toujours avec m qui est la mesure de Lebesgue sur [0,1], j'imagine... Ca semble objectivement intéressant mais flemme + la démonstration me vient pas instantanément + pas assez titillé là tout de suite maintenant.

Si tu connais pas l'intégrale KH, ça peut éventuellement t'intéresser.

Une question que j'aime bien est : soit un espace de proba tel que pour tout événement A vérifiant P(A)>0, il existe un sous-événement B tel que P(B) soit strictement entre 0 et P(A). Est-il nécessairement le cas qu'il existe un événement de probabilité 1/2 ? (c'est de la théorie de la mesure, c'est pas des probas)

Si jamais flemme de chercher voilà des solutions :
Pour le spoil du 1 la réponse est effectivement oui, c'est un exercice du Rudin analyse réelle et complexe. Rudin en a d'ailleurs donné une démo assez courte et élégante, si on ne s'y prend pas "de la bonne manière" (comment rajouter des cantor gras) ça devient vite bourbier
2)soit f l'indicatrice d'un cantor maigre C est Riemann intégrable (se fait à la main ou en voyant que l'ensemble de ses discontinuités est négligeable), toutes les indicatrices de sous ensembles de C sont riemann intégrables mais elles ne sont pas toutes boréliennes car la tribu de Borel à la puissance du continu alors que P(C) a un cardinal supérieur.
3)Si E est de mesure strictement positive alors E+E contient un intervalle ouvert non vide (c'est le théorème de Steinhauss, dont Weil a donné une très jolie démo par convolution) et a donc la puissance du continu. Puisque E+E s'injecte dans ExE et que ExE et E ont même cardinalen acceptant l'axiome du choix...on en déduit que card(E) =card(R)

Je vais chercher pour ta question

Et j'aurais adoré voter pour toi contre le Z en 2027 mais je suis qu'en 4e actuellement donc j'aurais pas encore 18 ans à cette date désolé

Le 07 avril 2022 à 18:43:45 :

Le 07 avril 2022 à 18:22:35 :

Le 07 avril 2022 à 18:12:43 :

Le 07 avril 2022 à 18:09:20 :

Le 07 avril 2022 à 18:03:26 :

Le 07 avril 2022 à 17:59:03 :

Le 07 avril 2022 à 17:50:52 :

Le 07 avril 2022 à 17:44:57 :

Le 07 avril 2022 à 15:40:31 :
Je vous mets au défi de trouver un truc que je comprends pas en maths. Les kheys ont essayé tout à l'heure et personne n'a réussi à égratigner ma superbe

j'ai déjà discuté avec un khey qui avait une signature très similaire, il était pas en seconde

ah bon ?

Oui

Petite question qui t'intéressera peut-être : On note f l'indicatrice de Q et g(t,x) = f(x-t). Pour chaque t la fonction g(t, ) est nulle presque partout, on devrait donc en déduire trivialement que g(t, ) tend vers la fonction nulle presque partout lorsque t tend vers 0. Cependant pour tout x réel la famille g(t,x) n'admet pas de limite lorsque t tend vers 0. Comment ça se fait ?

La convergence presque sûre n'est pas topologisable : ce n'est pas une notion de convergence provenant d'une topologie. Il y a quelque chose de fondamentalement "dénombrable" dedans.

Après si tu prends t_n une suite qui tend vers 0, alors g(t_n,x) converge presque sûrement vers 0.

C'est rigolo car je pensais justement à la non-topologisabilité de cette notion de convergence ce midi.

Effectivement
En fait c'est assez marrant, la convergence d'une famille non dénombrable de fonctions définies seulement à égalité presque partout n'est pas bien définie. En particulier cette convergence dépendrait du choix des représentants des fonctions. Cela vient du fait qu'une réunion indénombrables de négligeables n'est plus forcément négligeable.
Il y a d'ailleurs des détails non triviaux de ce côté là quand on veut utiliser le théorème de convergence dominée pour déterminer des limites d'intégrales à paramètres. Surtout si les fonctions intégrées ne sont définies qu'a égalité presque partout près. Détails qui sont très souvent glissés sous le tapis sans être évoqués.

En effet. La plupart du temps, ça se rafistole bien en constatant que pour les convergences qu'on veut montrer (typiquement, une intégrale dépend d'un paramètre réel et on veut étudier sa convergence quand le paramètre tend vers un truc), la continuité est équivalente à la continuité séquentielle. On se ramène donc aux suites avant de commencer à faire de la convergence dominée ou des trucs du genre.

Quelques autres devinettes en théorie de la mesure si ça t'amuses.
La première est assez classique, je crois :
1) Est-ce qu'il existe un ensemble mesurable E inclus dans [0;1] tel que pour tout intervalle I inclus dans [0;1] on ait m(E\cap I)= m(I)/2 où m représente la mesure de Lebesgue ?et avec la condition 0< m(E\cap I)<1 ?
2) On sait que toute fonction riemann-intégrable est mesurable, mais sont-elles toutes boréliennes ?
3) Soit E un ensemble mesurable tel que m(E) >0, quel est le cardinal de E ? Sans utiliser l'hypothèse du continu évidemment.

Je trouve la réponse à la 3 assez intéressante mais malheureusement je ne sais pas le démontrer sans utiliser https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Steinhaus .

Pour la question 3, tu utilises le fait que si un ensemble A est tel que A² a la puissance du continu, alors A a la puissance du continu, nan ? Mais ce fait n'est-il pas indécidable en l'absence d'axiome du choix ? Vraie question, c'est pas rhétorique.

J'ai répondu dans mon message précédent mais tu as trouvé tout seul avant. Oui ça demande l'axiome du choix, c'est vrai que j'aurais du le préciser. Mais tu n'es quand même pas un de ces affreux fascistes qui remettent en question le saint axiome du choix j'espère ?

Si jamais flemme de chercher voilà des solutions :
Pour le spoil du 1 la réponse est effectivement oui, c'est un exercice du Rudin analyse réelle et complexe. Rudin en a d'ailleurs donné une démo assez courte et élégante, si on ne s'y prend pas "de la bonne manière" (comment rajouter des cantor gras) ça devient vite bourbier

J'imagine un truc à base de "l'ensemble des réels dont le développement en base 2 vérifie telle bonne propriété", nan ?

2)soit f l'indicatrice d'un cantor maigre C est Riemann intégrable (se fait à la main ou en voyant que l'ensemble de ses discontinuités est négligeable), toutes les indicatrices de sous ensembles de C sont riemann intégrables mais elles ne sont pas toutes boréliennes car la tribu de Borel à la puissance du continu alors que P(C) a un cardinal supérieur.

Elégant. La vérification à la main se fait juste en tronquant la construction du Cantor a une étape finie et basta, nan ?

3)Si E est de mesure strictement positive alors E+E contient un intervalle ouvert non vide (c'est le théorème de Steinhauss, dont Weil a donné une très jolie démo par convolution) et a donc la puissance du continu. Puisque E+E s'injecte dans ExE et que ExE et E ont même cardinalen acceptant l'axiome du choix...on en déduit que card(E) =card(R)

Une fois vu que tu citais le théorème de Steinhaus (j'ignorais que ce résultat lui était attribué), c'était en effet clair que tu procédais ainsi. Ce serait intéressant de savoir s'il y a une démo qui n'utilise ni AC ni HC.

Je vais chercher pour ta question

Et j'aurais adoré voter pour toi contre le Z en 2027 mais je suis qu'en 4e actuellement donc j'aurais pas encore 18 ans à cette date désolé

Le 07 avril 2022 à 18:54:46 :

Le 07 avril 2022 à 18:43:45 :

Le 07 avril 2022 à 18:22:35 :

Le 07 avril 2022 à 18:12:43 :

Le 07 avril 2022 à 18:09:20 :

Le 07 avril 2022 à 18:03:26 :

Le 07 avril 2022 à 17:59:03 :

Le 07 avril 2022 à 17:50:52 :

Le 07 avril 2022 à 17:44:57 :

Le 07 avril 2022 à 15:40:31 :
Je vous mets au défi de trouver un truc que je comprends pas en maths. Les kheys ont essayé tout à l'heure et personne n'a réussi à égratigner ma superbe

j'ai déjà discuté avec un khey qui avait une signature très similaire, il était pas en seconde

ah bon ?

Oui

Petite question qui t'intéressera peut-être : On note f l'indicatrice de Q et g(t,x) = f(x-t). Pour chaque t la fonction g(t, ) est nulle presque partout, on devrait donc en déduire trivialement que g(t, ) tend vers la fonction nulle presque partout lorsque t tend vers 0. Cependant pour tout x réel la famille g(t,x) n'admet pas de limite lorsque t tend vers 0. Comment ça se fait ?

La convergence presque sûre n'est pas topologisable : ce n'est pas une notion de convergence provenant d'une topologie. Il y a quelque chose de fondamentalement "dénombrable" dedans.

Après si tu prends t_n une suite qui tend vers 0, alors g(t_n,x) converge presque sûrement vers 0.

C'est rigolo car je pensais justement à la non-topologisabilité de cette notion de convergence ce midi.

Effectivement
En fait c'est assez marrant, la convergence d'une famille non dénombrable de fonctions définies seulement à égalité presque partout n'est pas bien définie. En particulier cette convergence dépendrait du choix des représentants des fonctions. Cela vient du fait qu'une réunion indénombrables de négligeables n'est plus forcément négligeable.
Il y a d'ailleurs des détails non triviaux de ce côté là quand on veut utiliser le théorème de convergence dominée pour déterminer des limites d'intégrales à paramètres. Surtout si les fonctions intégrées ne sont définies qu'a égalité presque partout près. Détails qui sont très souvent glissés sous le tapis sans être évoqués.

En effet. La plupart du temps, ça se rafistole bien en constatant que pour les convergences qu'on veut montrer (typiquement, une intégrale dépend d'un paramètre réel et on veut étudier sa convergence quand le paramètre tend vers un truc), la continuité est équivalente à la continuité séquentielle. On se ramène donc aux suites avant de commencer à faire de la convergence dominée ou des trucs du genre.

Quelques autres devinettes en théorie de la mesure si ça t'amuses.
La première est assez classique, je crois :
1) Est-ce qu'il existe un ensemble mesurable E inclus dans [0;1] tel que pour tout intervalle I inclus dans [0;1] on ait m(E\cap I)= m(I)/2 où m représente la mesure de Lebesgue ?et avec la condition 0< m(E\cap I)<1 ?
2) On sait que toute fonction riemann-intégrable est mesurable, mais sont-elles toutes boréliennes ?
3) Soit E un ensemble mesurable tel que m(E) >0, quel est le cardinal de E ? Sans utiliser l'hypothèse du continu évidemment.

Je trouve la réponse à la 3 assez intéressante mais malheureusement je ne sais pas le démontrer sans utiliser https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Steinhaus .

Pour la question 3, tu utilises le fait que si un ensemble A est tel que A² a la puissance du continu, alors A a la puissance du continu, nan ? Mais ce fait n'est-il pas indécidable en l'absence d'axiome du choix ? Vraie question, c'est pas rhétorique.

J'ai répondu dans mon message précédent mais tu as trouvé tout seul avant. Oui ça demande l'axiome du choix, c'est vrai que j'aurais du le préciser. Mais tu n'es quand même pas un de ces affreux fascistes qui remettent en question le saint axiome du choix j'espère ?

Bien sûr que si

Nan, en vrai, je suis de ceux qui tolèrent parfaitement cet axiome mais qui veulent être au clair sur quand il sert et quand il ne sert pas.

Autre "devinette" (on supposera l'axiome du choix) :

Soit f une fonction d'un intervalle vers R. On suppose que pour tous x et y dans le domaine de définition, on a f((x+y)/2) ≤ (f(x)+f(y))/2.

Peut-on en déduire que f est convexe ?

Les trois variantes de ce problème sont : a) on suppose f continue ; b) on suppose f Lebesgue-mesurable ; c) on ne fait aucune hypothèse supplémentaire sur f.