GENIE des MATHS > 100% forax :ok:

Je crois que Bourbaki utilise une alternative un peu entre les deux pour sa théorie "naïve" de l'intégration : l'intégration des fonctions réglées.

Dans le livre Fonctions d'une variable réelle
Mais l'intégrale des fonctions réglées c'est juste le prolongement continu par densité (pour la norme uniforme) de l'intégrale de Cauchy...

Le 08 avril 2022 à 10:23:29 :

Le 08 avril 2022 à 00:21:29 :

Et c'est quoi le rapport avec l'intégrale KH ?

Strictement aucun. J'en parlais uniquement en disant que ça pourrait te faire triper en lien avec la théorie de la mesure. C'était plus "en lien" avec ton problème 2 (montrer que Riemann-intégrable n'implique pas borélien).

Ok, je connais l'intégrale KH, je me suis même pas mal renseigné dessus mais je ne suis pas vraiment convaincu par son intérêt. Enfin, ça a clairement un intérêt mais il est limité à des problèmes très précis.

J'étais longtemps assez sceptique. Mais en vrai, si on ne le voit pas comme une théorie concurrente à la théorie de Lebesgue mais comme une concurrente à la théorie de Riemann enseignée en L1-L2, elle est pas inintéressante du tout !

Riemann est rarement enseignée en L1/L2. On se contente souvent de l'intégrale de Cauchy (fonctions continues par morceaux). Et c'est pas une mauvaise chose selon moi parce que c'est largement suffisante pour la L1/L2 et que à ce niveau les faiblesses de l'intégrale sont les mêmes pour Cauchy et Riemann : l'espace L^1 associé n'est pas complet, et on a pas de bons théorèmes de convergence. Le fait que Riemann puis intégrer un peu plus de fonctions que Cauchy c'est anecdotique en L1/L2. Je crois que Bourbaki utilise une alternative un peu entre les deux pour sa théorie "naïve" de l'intégration : l'intégration des fonctions réglées. Mais KH me semble trop compliquée pour être apprise à la majorité des L1. Elle pose aussi un autre problème, comme elle est peu connue, un candidat de concours prépa/capes qui l'utiliserait et dirait "toute fonction dérivée est intégrable" se ferait sèchement corriger. Il y a un poly de J.P. Demailly où il parle justement de ça je crois, si je me souviens bien ils apprenaient l'intégrale KH pendant un temps à Grenoble, puis ils ont abandonné.

Sur R^n (pensé comme muni de Lebesgue), c'est même plus puissant que la théorie de Lebesgue classique donc c'est pas mal. Surtout que j'ai l'impression que c'est un peu plus intuitif et élémentaire quand on veut écrire tous les lemmes.

C'est ce côté "plus puissant que Lebesgue" qui m'embête. Dans la très grande majorité des cas ce n'est pas plus puissant. Et pour la plupart des exemples cités (genre le sinus cardinal) on peut retrouver tous les résultats en faisant un Lebesgue généralisé comme on fait un Riemann généralisé. En plus de ça on perd des résultats importants avec KH, comme f intégrable => |f| intégrable. Alors ok, parfois la KH sert vraiment et fait un peu mieux que lebesgue mais il s'agit de cas marginaux et qui dépassent largement le niveau L1/L2.

Souvent, on attaque KH avec l'idée que ça manque de souplesse, que ça ne couvre pas les espaces de probas généraux, qu'on a besoin de données métriques/topologiques, pas seulement de la tribu. Mais je ne suis pas full convaincu que ces attaques soient si pertinentes que ça. KH est généralement présenté dans R^n mais il ne me paraît pas totalement exclu que ça puisse se généraliser à certains espaces munis de bonnes structures. Et que ces structures forment une catégorie aussi souple/expressive que celle des espaces mesurés classiques. Je dis pas que c'est forcément possible, je dis juste qu'avant d'attaquer KH, ce serait bien de s'assurer que c'est pas possible (et pas juste que "OK, ce n'est pas ce qui est écrit dans la présentation standard").

[Si certains s'attaquent à KH car ils comprennent la théorie et sont convaincus qu'elle n'admet pas de telles généralisations, alors je suis full OK.]

Le problème n'est pas seulement de savoir si c'est possible ou non, mais de savoir s'il existe une présentation propre. D'ailleurs j'ai l'impression que, comme pour Riemann, la présentation n'est pas très sympathique dès qu'on est en dimension 2 ou plus.

Enfin, quand on étudie des propriétés très fines (par exemple des conditionnement à des événements de probas nulles, etc.), il arrive qu'on ait besoin pour étudier un phénomène probabiliste d'une structure additionnelle sur notre espace. Donc peut-être que la bonne notion d'espace a plus d'info qu'une tribu (notamment des données topologiques ou métriques). Ce n'est pas l'habitude qu'on a prise en probas mais, au-delà de l'habitude, je ne vois pas de raison a priori d'exclure cette possibilité.

Pour des propriétés fines d'intégrales de fonctions oscillantes j'ai entendu dire que KH était mieux que Lebesgue, j'y crois sans soucis. Mais de là à l'enseigner à tous les taupins et les facqueux...

Bon, clairement, tu as l'air d'être bien mieux informé que moi sur la question et d'y avoir réfléchi

Ca ne change pas fondamentalement mon sentiment à l'égard de KH mais ça change ma façon de mettre en mot ce sentiment. Mon sentiment positif envers KH n'est donc pas "c'est mieux que Lebesgue pour un chercheur" ni "c'est mieux que Cauchy pour un étudiant" mais "je suis content que ça existe et je ne regrette pas d'avoir pris 20 minutes pour apprendre cette définition alternative d'intégrale". Ce qui n'est pas systématiquement le cas d'absolument toute généralisation, il peut arriver qu'une généralisation ne nous parle absolument pas (soit parce qu'elle n'a rien à dire, soit parce qu'on est sourd à ses paroles).

Bref, j'étais initialement braqué contre KH car je la voyais nimbée de la prétention de supplanter Lebesgue et comme très technique à définir. Quand j'ai détaché cette prétention puis ai regardé la définition et vu que "aaaah... bah c'est pas compliqué en fait, même si Kurzweil-Henstock, c'est difficile à prononcer", eh bien je suis passé de braqué à bienveillant. Ca se résume à peu près à ça

Le 08 avril 2022 à 02:49:04 :
l'op je pense savoir t'es qui, tu es Jean Baptiste non ? SI oui décale pv

Ne t'inquiète pas, je ne m'appelle pas Jean-Baptiste

Le 08 avril 2022 à 01:39:17 :
Ce topic est encore debout

Questions aux kheys matheux :

- Le théorème/résultat qui ne cesse de vous émerveiller ?

- Votre branche préférée des mathématiques ?

Pas forcément de branche préférée. Pour la première question, déjà c'est intéressant de voir ton choix de question. Car certains s'émerveillent plutôt de théorèmes, d'autres de théories, de définitions, d'exemples, de contre-exemples, de démonstrations, d'idées/principes/méthodes, d'astuces...

Perso, je pense que je kiffe beaucoup la proportionnalité, la récurrence, le principe des tiroirs et le théorème spectral. La raison étant la même, qui est que chacun de ces concepts est extrêmement fertile et a donné naissance à des flopées de rejetons à travers toutes les maths.

La proportionnalité est mère des espaces vectoriels(le père est l'additivité)pour lesquels on sait faire plein de trucs et auxquels on essaie souvent de se ramener (d'où les notions de fonctions différentiables en analyse et de représentation de groupe en algèbre). Même au niveau collège/lycée, la proportionnalité sert à la fois dans le royaume des nombres et dans celui de la géométrie, avec Thalès. Le fait qu'on puisse aborder cela à un niveau collège, je trouve ça super chouette. Et c'est très puissant. Par exemple, si je te dis le budget alloué à tel truc par l'état est X, naïvement, vu que X est grand, on sait pas comparer. Grâce à la proportionnalité, tu divises X par un autre grand nombre (la population française) et tu ramènes les grands nombres au sens commun.

La récurrence, pareil, ça s'explique sans trop de peine à un lycéen et c'est un marteau qui enfonce bien des clous. Pour moi, c'est une idée qu'on retrouve derrière de nombreux autres principes plus poussés (connexité, Cauchy-Lipschitz, récurrence transfinie, passages du local au global).

Le principe des tiroirs, je le trouve élégant et puissant. C'est un peu le représentant élémentaire de la méthode probabiliste(montrer qu'un truc existe en minorant la proba d'en trouver un au pif par un nombre strictement positif), de la théorie de Ramsey, des preuves non-constructives. Pour une raison que j'ai du mal à mettre en mots, j'ai envie de mettre Borsuk-Ulam ou le théorème des valeurs intermédiaires dans ce sillage aussi.

Quant au théorème spectral, au niveau où on l'apprend, il a déjà une double fonction. D'une part, il diagonalise, d'autre part il fournit une matrice de passage qui, loin d'être quelconque, est orthogonale ! Mais surtout, il se retrouve plus tard fantastiquement généralisé dans le royaume des algèbres de von Neumann. Ce théorème spectral++ implique alors le théorème de représentation de Riesz en intégration et le théorème spectral classique. Bref, je vois un peu ce théorème comme englobant à la fois l'intégration et la théorie des représentations des groupes finis (+ les situations nouvelles d'intégration non commutative qui sont fort utiles en théorie ergodique).

La dualité fini/infini me fascine aussi (mais ce n'est pas un résultat, plutôt une définition ou une dichotomie). Le royaume infini est très différent. Et cette dualité peut s'adapter selon les contextes (compacité en topologie, moyennabilité ou soficité en théorie des groupes). Or je kiffe la moyennabilité, qui est une dichotomie win/win en théorie des groupes. Et la façon la plus simple de faire sentir ce qu'il en est... c'est de revenir à la dichotomie "basique" fini/infini. Si je te dis "soit E un ensemble quelconque", tu es à poil. Eh bah pas tant que ça, suffit de faire une dichotomie. Soit E est fini, auquel cas tu as des outils de rigidité(si une partie de E a même cardinal, alors il remplit E); soit E est infini, auquel cas tu as des outils de souplesse(peut-être en utilisant l'axiome du choix, j'en sais rien, tu peux trouver dans E mille parties disjointes qui ont chacune "même cardinal" que E).

Le 08 avril 2022 à 13:34:31 :
Preuve que l'OP est en seconde ?

https://www.jeuxvideo.com/forums/message/1151060087

Le 08 avril 2022 à 13:50:56 :

Le 08 avril 2022 à 13:34:31 :
Preuve que l'OP est en seconde ?

https://www.jeuxvideo.com/forums/message/1151060087

Jerry

Encore une démo alternative pour l'exo "trouver une partie borélienne de [0,1] qui intersecte tout intervalle non-trivial avec le long d'un truc de mesure de Lebesgue non-nulle et idem pour le complémentaire de notre partie" de Jeancommutatif.

Etant donné un intervalle non-trivial I, on note E(I) l'ensemble des parties mesurables qui intersectent I le long d'un truc de mesure strictement intermédiaire entre 0 et longueur de I.

On considère l'ensemble des parties boréliennes de [0,1] muni de la distance "mesure de Lebesgue de la différence symétrique". Cet espace est complet(via la fonction indicatrice, on le réalise comme une partie fermée de l'espace L^1). Il est donc de Baire !

Pour tout intervalle I non-trivial, on vérifie facilement que E(I) est un ouvert dense. On en déduit que l'intersection de tous les I pour I intervalle dyadique non-trivial est dense, par Baire. En particulier, c'est non-vide. Une partie telle que recherchée existe donc car c'est en un sens générique

tu as des livre à conseiller pour une une bonne compréhension en mathématique ?
Je suis en L3 et pas mauvais mais clairement pas assez bon

surtout en ce qui concerne la topologie en générale ...

Le 08 avril 2022 à 16:27:32 glug21 a écrit :
tu as des livre à conseiller pour une une bonne compréhension en mathématique ?
Je suis en L3 et pas mauvais mais clairement pas assez bon

surtout en ce qui concerne la topologie en générale ...

Ça m'intéresse également, en particulier la topologie

Le 08 avril 2022 à 00:53:45 Quoted :
Bon, allez, t'as de la chance, je suis généreux

Image prise sur internet ou ta vraie carte? Parce qu'on voit clairement le nom et prénom

Le 08 avril 2022 à 17:11:23 :

Le 08 avril 2022 à 00:53:45 Quoted :
Bon, allez, t'as de la chance, je suis généreux

Image prise sur internet ou ta vraie carte? Parce qu'on voit clairement le nom et prénom

No stress

Pour ceux qui demandent des livres, je n'ai pas forcément grand chose à dire... Mais si des jeanmatheux veulent répondre (à cela ou n'importe quoi d'autre), le topic est à tout le monde

Enfin, dans la démo par Baire quelques posts plus haut, la distance n'est à proprement pas une distance sur l'ensemble des boréliens de [0,1] mais sur cet ensemble quotienté par la relation d'équivalence "différer d'une partie de mesure de Lebesgue nulle". Cela ne change rien à la démonstration

Le 08 avril 2022 à 20:16:44 :

Le 08 avril 2022 à 17:11:23 :

Le 08 avril 2022 à 00:53:45 Quoted :
Bon, allez, t'as de la chance, je suis généreux

Image prise sur internet ou ta vraie carte? Parce qu'on voit clairement le nom et prénom

No stress

Pour ceux qui demandent des livres, je n'ai pas forcément grand chose à dire... Mais si des jeanmatheux veulent répondre (à cela ou n'importe quoi d'autre), le topic est à tout le monde

Enfin, dans la démo par Baire quelques posts plus haut, la distance n'est à proprement pas une distance sur l'ensemble des boréliens de [0,1] mais sur cet ensemble quotienté par la relation d'équivalence "différer d'une partie de mesure de Lebesgue nulle". Cela ne change rien à la démonstration

De toute façon le lemme de Baire reste vrai si on retire l'axiome de séparation (donc pour les pseudodistances complètes).

Pour les livres de topologie, je recommande Bourbaki Topologie générale (chapitres 1 à 4 particulièrement). Il faut cependant apprécier le style Bourbaki, ça ne convient pas à tout le monde malheureusement. Sinon c'est un ouvrage très complet.