GENIE des MATHS > 100% forax :ok:

Le 07 avril 2022 à 19:41:18 :
Mais l'OP comment ça se fait que tu puisses encore être sur ce forum ? C'est juste un retour aux sources ?
Me dit pas qu'un normalien maître de conf traîne ici souvent ça serait irréaliste.
L'élite bordel

Boucled

Le 07 avril 2022 à 19:38:25 :

Le 07 avril 2022 à 19:36:45 :

Le 07 avril 2022 à 19:21:02 :

Le 07 avril 2022 à 19:13:41 :

Le 07 avril 2022 à 19:02:15 :
Autre "devinette" (on supposera l'axiome du choix) :

Soit f une fonction d'un intervalle vers R. On suppose que pour tous x et y dans le domaine de définition, on a f((x+y)/2) ≤ (f(x)+f(y))/2.

Peut-on en déduire que f est convexe ?

Les trois variantes de ce problème sont : a) on suppose f continue ; b) on suppose f Lebesgue-mesurable ; c) on ne fait aucune hypothèse supplémentaire sur f.

ENS-Lyon second concours math 2012 Enfin pour les question a) et c). Je dirais oui pour la b) mais sans démo. J'y réfléchirait aussi.

Et oui Villani a des positions que je trouve étranges sur l'axiome du choix. Y a aussi un poly de cours où il explique plus ou moins que les distributions ça sert à rien et qu'on a besoin que des Sobolev

C'est pas si extrême que ça d'être sceptique du choix, je trouve. L'axiome du choix, c'est un peu le cinquième postulat d'Euclide moderne. En se passant du cinquième postulat, on s'ouvre aux géométrie hyperbolique et elliptique. Quant aux mondes sans AC, bah c'est bienvenue dans les univers générés par forcing. Même si je conviendrai que ces mondes ne sont actuellement pas des objets d'étude aussi mainstreams que la géométrie hyperbolique ou la géométrie elliptique.

Il y a un autre axiome qui pour moi est bien plus "clairement vrai" que AC mais pour qu'il peut dans certains contextes être souhaitable d'enlever (auquel cas ça change les maths bien plus radicalement qu'enlever AC), c'est le tiers exclus. Il y a des motivation côté constructibilité ou côté topoï. Notamment autour du fait que l'intérieur de l'adhérence d'un ouvert n'est pas forcément l'ouvert de départ, ce qui se traduit, de certains points de vue, comme un "bug de double négation".

J'exagère évidemment en comparant les anti choix aux fascistes. En réalité je ne m'y connais pas beaucoup là dedans et les diverses applications en mathématiques sont assez éloignées de ce que je connais le mieux : l'analyse

Après, Hahn-Banach et le théorème de Tychonoff, ça sert en analyse quand même

Évidemment ! Je dirais même plus, Banach-Alaoglu sert absolument partout en analyse et la seule preuve que je connaisse passe par Tychonoff. Ici Villani répondrait que pour tous les espaces qu'on croise dans le vie de tous les jours on peut s'en sortir sans parce que leur prédual est séparable et blablabla.

Je voulais plutôt dire que les apports de la logique dans les math que je connais bah c'est pas grand chose. Mais je sais que la situation est différente en algèbre ou topologie ou il peut y avoir des interactions fécondes, du moins de ce que je crois comprendre.

Le 07 avril 2022 à 19:42:04 :

Le 07 avril 2022 à 19:41:18 :
Mais l'OP comment ça se fait que tu puisses encore être sur ce forum ? C'est juste un retour aux sources ?
Me dit pas qu'un normalien maître de conf traîne ici souvent ça serait irréaliste.
L'élite bordel

Boucled

ayaa la boucle qui touche tout le monde

Très bien khey, tu as au moins le mérite de titiller ma curiosité alors allons-y.

On va commencer facile, que penses-tu de cette affirmation : "être continue, pour une fonction, est équivalent à dire que son graphe est d'un seul tenant" ?

Le 07 avril 2022 à 19:38:25 :

Le 07 avril 2022 à 19:36:45 :

Le 07 avril 2022 à 19:21:02 :

Le 07 avril 2022 à 19:13:41 :

Le 07 avril 2022 à 19:02:15 :
Autre "devinette" (on supposera l'axiome du choix) :

Soit f une fonction d'un intervalle vers R. On suppose que pour tous x et y dans le domaine de définition, on a f((x+y)/2) ≤ (f(x)+f(y))/2.

Peut-on en déduire que f est convexe ?

Les trois variantes de ce problème sont : a) on suppose f continue ; b) on suppose f Lebesgue-mesurable ; c) on ne fait aucune hypothèse supplémentaire sur f.

ENS-Lyon second concours math 2012 Enfin pour les question a) et c). Je dirais oui pour la b) mais sans démo. J'y réfléchirait aussi.

Et oui Villani a des positions que je trouve étranges sur l'axiome du choix. Y a aussi un poly de cours où il explique plus ou moins que les distributions ça sert à rien et qu'on a besoin que des Sobolev

C'est pas si extrême que ça d'être sceptique du choix, je trouve. L'axiome du choix, c'est un peu le cinquième postulat d'Euclide moderne. En se passant du cinquième postulat, on s'ouvre aux géométrie hyperbolique et elliptique. Quant aux mondes sans AC, bah c'est bienvenue dans les univers générés par forcing. Même si je conviendrai que ces mondes ne sont actuellement pas des objets d'étude aussi mainstreams que la géométrie hyperbolique ou la géométrie elliptique.

Il y a un autre axiome qui pour moi est bien plus "clairement vrai" que AC mais pour qu'il peut dans certains contextes être souhaitable d'enlever (auquel cas ça change les maths bien plus radicalement qu'enlever AC), c'est le tiers exclus. Il y a des motivation côté constructibilité ou côté topoï. Notamment autour du fait que l'intérieur de l'adhérence d'un ouvert n'est pas forcément l'ouvert de départ, ce qui se traduit, de certains points de vue, comme un "bug de double négation".

J'exagère évidemment en comparant les anti choix aux fascistes. En réalité je ne m'y connais pas beaucoup là dedans et les diverses applications en mathématiques sont assez éloignées de ce que je connais le mieux : l'analyse

Après, Hahn-Banach et le théorème de Tychonoff, ça sert en analyse quand même

Après Hahn-Banach et Tychonoff (pour les espaces séparés) sont des énoncés assez faibles par rapport à AC.
Les deux se déduisent du lemme des ultrafiltres, qui en tant que principe de choix est un résultat très faiblard (il n'implique aucun axiome du choix usuel, pas même le dénombrable). Donc on peut faire de l'analyse fonctionnelle sans énormément de choix

D'ailleurs Tychonoff séparé <=> Banach-Alaoglu <=> lemme des ultrafiltres

Le 07 avril 2022 à 19:52:17 :
Très bien khey, tu as au moins le mérite de titiller ma curiosité alors allons-y.

On va commencer facile, que penses-tu de cette affirmation : "être continue, pour une fonction, est équivalent à dire que son graphe est d'un seul tenant" ?

Si ta fonction est définie sur R\{0}, par exemple, on est mal parti

Le 07 avril 2022 à 21:52:30 :
Reviens sur Discord

Le 07 avril 2022 à 21:52:30 :
Reviens sur Discord

Non

Si je le fais, ça dégénérera forcément en occuper une portion non-négligeable de mon temps, ce que je ne souhaite pas

Question pour toi l'OP :

Je choisis un nombre naturel au hasard, quelle est la probabilité pour que ce soit un nombre pair ?

Le 07 avril 2022 à 22:08:10 :
Question pour toi l'OP :

Je choisis un nombre naturel au hasard, quelle est la probabilité pour que ce soit un nombre pair ?

Je prends la liberté d'interpréter "au hasard" comme "uniformément au hasard".

1/2

Attention, bien sûr, on ne peut pas tirer un nombre uniformément au hasard dans N au sens usuel mais il y a un certain nombre de façons de contourner cela, d'une façon qui prend en compte "l'ordre de N" (sinon, on pourrait bijecter les pairs avec les multiples de 3 et on aboutirait à 1/2=1/3).

Par exemple, on peut travailler avec N muni non pas d'une sigma-algèbre mais d'une algèbre de parties (collection de parties stable par passage au complémentaire, par union finie et contenant le vide), celle engendrée par les progressions arithmétiques, et définir (en restriction à cette algèbre) une densité naturelle (la seule qui associe à une suite arithmétique de a+bN avec b>0 la proba 1/b).

On peut même chercher à mesurer la densité de parties plus compliquées que celles de cette partie, c'est un sujet relativement intéressant que d'essayer d'aller aussi loin que possible. Par exemple, tu peux dire que si une partie A vérifie que le cardinal de A inter {1,...,N} divisé par N converge, alors on déclare A mesurable et sa proba vaut la limite. Cela donne bien une algèbre de parties et une probabilité finiment additive définie sur cette algèbre de parties. Pour mesurer encore plus, on peut prendre des limites de Cesàro. Puis des limites de Cesàro de limites de Cesàro. On peut itérer cela un nombre quelconque de fois. Et il y a moyen d'aller encore plus loin

Le 07 avril 2022 à 22:15:11 :

Le 07 avril 2022 à 22:08:10 :
Question pour toi l'OP :

Je choisis un nombre naturel au hasard, quelle est la probabilité pour que ce soit un nombre pair ?

Je prends la liberté d'interpréter "au hasard" comme "uniformément au hasard".

1/2

Attention, bien sûr, on ne peut pas tirer un nombre uniformément au hasard dans N au sens usuel mais il y a un certain nombre de façons de contourner cela, d'une façon qui prend en compte "l'ordre de N" (sinon, on pourrait bijecter les pairs avec les multiples de 3 et on aboutirait à 1/2=1/3).

Par exemple, on peut travailler avec N muni non pas d'une sigma-algèbre mais d'une algèbre de parties (collection de parties stable par passage au complémentaire, par union finie et contenant le vide), celle engendrée par les progressions arithmétiques, et définir (en restriction à cette algèbre) une densité naturelle (la seule qui associe à une suite arithmétique de a+bN avec b>0 la proba 1/b).

On peut même chercher à mesurer la densité de parties plus compliquées que celles de cette partie, c'est un sujet relativement intéressant que d'essayer d'aller aussi loin que possible. Par exemple, tu peux dire que si une partie A vérifie que le cardinal de A inter {1,...,N} divisé par N converge, alors on déclare A mesurable et sa proba vaut la limite. Cela donne bien une algèbre de parties et une probabilité finiment additive définie sur cette algèbre de parties. Pour mesurer encore plus, on peut prendre des limites de Cesàro. Puis des limites de Cesàro de limites de Cesàro. On peut itérer cela un nombre quelconque de fois. Et il y a moyen d'aller encore plus loin

Merci pour ta réponse khey, j'ai lu le topax, tu dois être au moins agrégé/docteur

un classique : est-ce que « être de mesure nulle » est une notion topologique ?

plus précisément : est-ce qu'un homéomorphisme entre 2 espaces mesurables transforme nécessairement un ensemble de mesure nulle en un ensemble de mesure nulle ?

Le 07 avril 2022 à 18:37:48 :
Si tu connais pas l'intégrale KH, ça peut éventuellement t'intéresser.

Une question que j'aime bien est : soit un espace de proba tel que pour tout événement A vérifiant P(A)>0, il existe un sous-événement B tel que P(B) soit strictement entre 0 et P(A). Est-il nécessairement le cas qu'il existe un événement de probabilité 1/2 ? (c'est de la théorie de la mesure, c'est pas des probas)

Alors j'ai cherché et je dirais que oui ça existe. L'idée est de dire que pour tout n on peut partitionner E l'espace total en une famille d'évènements de mesure tous plus petits que 1/n. Une fois qu'on a ça c'est facile de prendre une réunion dénombrable de telles parties qui fait exactement 1/2 (ou n'importe quel élément de [0;1]).

Pour ça comment est-ce qu'on fait : on prend un évènement E, on regarde tous les découpages de E en deux évènements A et B avec P(A)=<P(B), on note D(E) le sup des P(A)/P(E) de tels découpages. On choisit alors un découpage, celui qu'on veut, pour lequel P(A)>D(E)/2, ceci est notamment possible parce que D(E) >0. On va ainsi découper W l'espace total en A et B puis découper A et B eux mêmes puis les morceaux de A et B ainsi de suite.

Montrons qu'avec cette procédure on va aboutir à un découpage dont tous les évènements auront une proba aussi petite que voulue. Supposons que ce ne soit pas le cas et qu'on ait une suite décroissantes A_n d'évènements avec A_n+1 issu du découpage de A_n et tels que A=intersection des A_n soit de mesure >0. Puisque lim P(A_n)=P(A)>0 on en déduit que lim P(A_n)/P(A_n+1) = 1 et donc que D(A_n) tend vers 0. Maintenant découpons A en deux évènements U et V non négligeables. Ceci donne un découpage de A_n en U et le complémentaire de U dans A_n. Ce découpage contredira lim D(A_n) = 0, ce qui termine la preuve.

Bon c'est relativement naturel comme démarche mais j'ai l'impression de passer à côté d'une preuve en deux lignes

Et c'est quoi le rapport avec l'intégrale KH ?

Le 07 avril 2022 à 22:52:42 :
un classique : est-ce que « être de mesure nulle » est une notion topologique ?

plus précisément : est-ce qu'un homéomorphisme entre 2 espaces mesurables transforme nécessairement un ensemble de mesure nulle en un ensemble de mesure nulle ?

On peut envoyer un Cantor maigrichon sur un Cantor gras dans (R, Lebesgue)