J'avais pensé à écrire sous forme matricielle mais pas à passer dans Z/2Z... et j'avais l'impression que c'était un exo type olympiade alors je l'ai finalement plutot abordé comme suit (la réponse à la question étant oui) :
Notons que le problème est linéaire donc on peut multiplier tous les poids par n'importe quel réel > 0.
L'idée est de se ramener au cas où les poids des vaches sont entiers (non nuls), qui lui se traite facilement avec un argument de parité, quitte à diviser tous les poids par 2 autant qu'il le faut pour s'assurer qu'au moins un soit impair (mise en forme laissée au lecteur).
Quitte à les diviser par le plus petit d'entre eux, on considère maintenant les poids tous >1. Pour se ramener au cas entier, on veut multiplier les poids par x>1, de telle sorte que les parties fractionnaires des x*p1, x*p2, ... soient inférieures à 1/10, avec p1, p2, ... les poids des vaches. En traitant le problème par l'absurde, cela impliquera facilement que les parties entières des x*p_i vérifient les hypothèses et donne donc la contradiction compte tenu du paragraphe précédent. Noter que si les poids étaient rationnels, on se ramenerait très facilement au cas entier.
Il suffit donc montrer l'existence d'un tel x réel. Pour ce faire, il suffit de montrer que les n_i/p_i peuvent être deux à deux arbitrairement proches pour certains entiers n_i > max(p_j) donnés. On posera alors x=n_1/p_1.
Mais là j'ai pas réussi à le montrer. Pourtant ça semble vrai et plutôt simple, mais j'utilise une intuition arithmétique... et peut-être que ça foire avec des irrationnels. En tout cas pour deux poids ça aurait fonctionné en considérant le groupe additif engendré...
J'y réfléchirai de nouveau une autre fois car cette dernière interrogation m'intéresse, et j'aurai bientôt plus d'outils pour l'aborder. Mais donc je peux conclure l'exo dans le cas de poids tous rationnels ainsi que pour la majorité des réels (raisonner en prenant x=10^m ci-dessus). Sauf erreur.
