3)a) pour tout n >= 0 et pour tout x dans [0,1] on a exp(-nx) > 0 (propriété de l'exponentielle) et 1+x > 0 donc exp(-nx)/(1+x) > 0 et donc par croissance (ou par positivité, comme tu veux) de l'intégrale I_n >= 0
3)b) Pour tout n >= 0 et pour tout x dans [0,1] on a exp(-(n+1)x) = exp(-x)*exp(-nx) (propriété de l'exponentielle) or exp(-x) =< 1 puisque x >= 0
donc exp(-(n+1)x) =< exp(-nx)
or 1+x > 0 donc diviser par 1+x ne change pas le sens de l'inégalité donc
exp(-(n+1)x)/(1+x) =< exp(-nx)/(1+x)
par croissante de l'intégrale on a donc
I_(n+1) =< I_n
3)c) La suite (I_n) est décroissante et minorée par 0, elle est donc convergente
