Les kheys forts en maths, venez par là

Déjà salut à vous. Je sais qu'on a des cracks parmi nous qui sont capables de résoudre et faire des merveilles en mathématiques. Ma petite soeur a besoin d'aide pour un exercice que je suis incapable de faire vu mon niveau. Je vous en serais reconnaissant les kheys, à vie. Elle est au lycée.

Le 23 mai 2022 à 20:01:39 :
on va pas tout faire, sur quelles questions ça bloque ? et une photo droite, c'est en option ?

Tu as raison :

Elle bloque sur toutes les questions mais merci quand même les gars je vais essayer de trouver une autre solution.

Pour les 2 et 3 il suffit de dériver ((e-x)+x-1)'=-(e-x)+1
x=0 => f(x)'=1
x=1 => f(x)'=0

=> F(x) décroissant sur [0;1]

Quiconque ne maitrise pas les Cassinis termine à Télécom Nancy

Bonnes révisions

Le 23 mai 2022 à 20:27:52 :
Quiconque ne maitrise pas les Cassinis termine à Télécom Nancy

Bonnes révisions

Elle veut faire du droit :D

1) La fonction F : x |---> ln(1+x) est une primitive de f : x |---> 1/(1+x) sur [0,1]

donc ton intégrale vaut F(1) - F(0) = ln(2) - ln(1) = ln(2)

2)a) Pour étudier les variations d'une fonction on commence par calculer sa dérivée. En l'occurence la dérivée est f' : x |---> - exp(-x) + 1

f' est positive sur [0,1] donc f est croissante sur [0,1]

2)b) même raisonnement, g' : x |---> -1 + x + exp(-x)

On remarque que g' est égale à f

On sait que f est croissante sur [0,1], en calculant f(0) = 0 on sait donc que f est positive sur [0,1]

g' est positive sur [0,1] donc g est croissante sur [0,1]

2)c) f est positive sur [0,1]

donc pour tout x dans [0,1] :

f(x) = -1 + x + exp(-x) >= 0

donc exp(-x) >= 1-x

et g est positive sur [0,1] donc pour tout x dans [0,1]

g(x) = 1 - x + x^2/2 - exp(-x) >= 0

donc 1 - x + x^2/2 >= exp(-x)

donc 1 - x + x^2/2 >= exp(-x) >= 1-x

Le 23 mai 2022 à 21:00:30 :
1) La fonction F : x |---> ln(1+x) est une primitive de f : x |---> 1/(1+x) sur [0,1]

donc ton intégrale vaut F(1) - F(0) = ln(2) - ln(1) = ln(2)

2)a) Pour étudier les variations d'une fonction on commence par calculer sa dérivée. En l'occurence la dérivée est f' : x |---> - exp(-x) + 1

f' est positive sur [0,1] donc f est croissante sur [0,1]

2)b) même raisonnement, g' : x |---> -1 + x + exp(-x)

On remarque que g' est égale à f

On sait que f est croissante sur [0,1], en calculant f(0) = 0 on sait donc que f est positive sur [0,1]

g' est positive sur [0,1] donc g est croissante sur [0,1]

2)c) f est positive sur [0,1]

donc pour tout x dans [0,1] :

f(x) = -1 + x + exp(-x) >= 0

donc exp(-x) >= 1-x

et g est positive sur [0,1] donc pour tout x dans [0,1]

g(x) = 1 - x + x^2/2 - exp(-x) >= 0

donc 1 - x + x^2/2 >= exp(-x)

donc 1 - x + x^2/2 >= exp(-x) >= 1-x

Merci infiniment !

2)d) Pour x dans [0,1]

(1-x)/(1+x) = (2-1-x)/(1+x) = 2/(1+x) - (1+x)/(1+x) = 2/(1+x) - 1

et x^2/(1+x) = (x^2 - 1 + 1)/(1+x) = [ (x+1)(x-1) + 1]/(1+x) = x-1 + 1/(1+x)

2)e) on divise l'inégalité obtenu en 2)c) par 1+x (qui est positif pour x dans [0,1] donc ne change pas le sens de l'inégalité) :

pour x dans [0,1]

(1-x)/(1+x) =< exp(-x)/(1+x) =< [1-x+x^2/2]/(1+x)

D'après les résultats de la question 2)d) les termes à droite et à gauche peuvent se modifier en :

2/(1+x) - 1 =< exp(-x)/(1+x) =< 2/(1+x) - 1 + x/2 -1/2 + 1/(2+2x)

Par croissance de l'intégrale on obtient l'inégalité avec des intégrales partout

Le terme du milieu c'est I_1

Le terme à gauche c'est 2*I_0 - 1 = 2ln(2) - 1 (linéarité de l'intégrale)

Le terme à droite donne 5(2ln2 -1)/4 (tu dois calculer l'intégrale de 0 à 1 de x/2, en sachant qu'une primitve de f : x |---> x/2 est F : x |---> x^2/4 et tu dois également reconnaître I_0)

3)a) pour tout n >= 0 et pour tout x dans [0,1] on a exp(-nx) > 0 (propriété de l'exponentielle) et 1+x > 0 donc exp(-nx)/(1+x) > 0 et donc par croissance (ou par positivité, comme tu veux) de l'intégrale I_n >= 0

3)b) Pour tout n >= 0 et pour tout x dans [0,1] on a exp(-(n+1)x) = exp(-x)*exp(-nx) (propriété de l'exponentielle) or exp(-x) =< 1 puisque x >= 0

donc exp(-(n+1)x) =< exp(-nx)

or 1+x > 0 donc diviser par 1+x ne change pas le sens de l'inégalité donc

exp(-(n+1)x)/(1+x) =< exp(-nx)/(1+x)

par croissante de l'intégrale on a donc

I_(n+1) =< I_n

3)c) La suite (I_n) est décroissante et minorée par 0, elle est donc convergente

3)d) on va faire une intégration par partiespour trouver cette astuce, on remarque qu'on a du n au dénominateur du résultat, hors initialement notre n n'est que dans l'exponentielle, donc la seule façon de faire sortir du n de l'exponentielle comme ça c'est d'intégrer l'exponentielle

I_n = int de 0 à 1 de exp(-nx)/(1+x) dx

= [exp(-nx)/(-n) * 1/(1+x)] de 0 à 1 - int de 0 à 1 de exp(-nx)/(-n) * (-1)/(1+x)^2 dx

=< [exp(-nx)/(-n) * 1/(1+x)] de 0 à 1 car l'intégrale est positive puisque le terme à l'intérieur est positif et par croissance (ou positivité) de l'intégrale

=< - exp(-n)/(2n) + 1/n

=< - exp(-n)/n + 1/n (car exp(-n)/(2n) est négztif)

d'où le résultat

3)e) le terme à droite tend vers 0 donc i_n tend vers 0 quand n tend vers l'infini