[Math] Ces démonstrations mathématiques PAZifient le forom :ouch:

Le 28 juillet 2021 à 16:19:52 DiddyKongRacing a écrit :
Moi en master informatique qui regarde vos math :

C'est niveau L2, enfin en tout cas la théorie. Après c'est poussé en difficulté en soi.

Le 28 juillet 2021 à 16:05:00 :

Le 28 juillet 2021 à 16:03:02 Efla120 a écrit :
https://www.jeuxvideo.com/forums/42-51-66638470-1-0-1-0-math-cette-demonstration-tourneboule-le-forum.htm

Tu narrais bien mieux auparavant l'op.

Comme tout bon foroumeur, jeancommutatif est désormais entré dans la boucle

Il est devenu ZINZIN

Jelphiryn je me souviens de toi! T'allais faire 5/2 t'hésitais entre aller à Supéchec ou cuber.

Tu fais quoi depuis ? Pourquoi tu dis que tu vas bosser ?

Salut khey ! Parce qu'askip je suis censé rédiger un rapport de stage sur mes heures de travail plutôt que de m'embrouiller avec un mec sur le forum parce qu'il justifie pas que sa pseudo-mesure de Lebesgue est pas monotone
Pour l'École, ça s'est pas passé trop mal, mais ça Sylves peut t'en témoigner

Le 28 juillet 2021 à 16:20:13 :
Il y a aussi la preuve du critère de condensation https://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy_condensation_test
C'est tout bête et c'est utile parfois, j'aime bien.

sympa je connaissais pas !

ça me fait penser à la demo de la div de la série des 1/n par sommation par paquets de taille 2^k

Le 28 juillet 2021 à 16:10:53 :

Le 28 juillet 2021 à 16:04:52 :
La démo classique c'est d'étudier M-1/n*Id pour toute matrice M, et c'est connu que le polynôme caracteristique det(M-XIn) n'est pas nul Oui, on utilise ce résultat du cours...

Mais je suis d'accord sur notre désaccord : une démonstration mathématique dépend de l'interlocuteur; mais c'est pas pour autant que tu peux te passer de définir proprement tes objets pour être sûr qu'on parle de la même chose. Ça, c'est pas les goûts et les couleurs. Et oui, il faut supposer un cadre théorique commun. Donc c'est pour ça que je pars du programme de prépa, mais un programme de L2 irait aussi je pense. Si tu vas plus loin, précise le. Et là tu n'es pas clair dans les résultats que tu supposes connus : tu ne vas pas me dire que tu suppose hors-programme le fait qu'un polynôme ait un nombre fini de racones, si ? La base d'une démo c'est d'utiliser des résultats supposés connus pour écrire quelque chose qui sera évident ligne à ligne. Si tu commences à utiliser des objets mal définis ou des résultats qui ne sont pas supposés connus, tu dois les démontrer.
Là ton utilisation de la notion de longueur est bonne pour un intervalle, mais n'est pas définie pour une union d'intervalle ; c'est carton rouge, même si on comprend l'idée. Parce qu'après tu utilises le résultat sur l'inclusion, qui est certes intuitif, mais pas si évident à démontrer. Donc sois utilises Lebesgue, sois ne l'utilise pas et fais proprement les choses

Bon sur ce je vais bosser...

Pour la notion de longueur: la longueur d'une union finie disjointe d'intervalle est bien définie (on prend juste la somme des longueurs). Pour être 100% rigoureux, il faudrait montrer un lemme: si on prend l'union de deux unions finies disjointes d'intervalles, alors la longueur est sous-additive.
Le lemme est assez naturel et pas très dur à montrer, et c'est tout ce dont on a besoin pour la démo de jeancommutatif

Là tu confonds monotonie, sous-additivité et sigma-additivité (ou quelque chose d'approchant). Une mesure est monotone (c'est ça la propriété sur l'inclusion qu'il utilise, car [0;1] et les U_i sont pas disjoints), et effectivement ça se démontrer facilement par sigma-additivité sur (B et B\A) + positivité de la mesure, mais c'est quand même une chtite propriété à démontrer pour être propre...

Le 28 juillet 2021 à 16:40:26 :

Le 28 juillet 2021 à 16:10:53 :

Le 28 juillet 2021 à 16:04:52 :
La démo classique c'est d'étudier M-1/n*Id pour toute matrice M, et c'est connu que le polynôme caracteristique det(M-XIn) n'est pas nul Oui, on utilise ce résultat du cours...

Mais je suis d'accord sur notre désaccord : une démonstration mathématique dépend de l'interlocuteur; mais c'est pas pour autant que tu peux te passer de définir proprement tes objets pour être sûr qu'on parle de la même chose. Ça, c'est pas les goûts et les couleurs. Et oui, il faut supposer un cadre théorique commun. Donc c'est pour ça que je pars du programme de prépa, mais un programme de L2 irait aussi je pense. Si tu vas plus loin, précise le. Et là tu n'es pas clair dans les résultats que tu supposes connus : tu ne vas pas me dire que tu suppose hors-programme le fait qu'un polynôme ait un nombre fini de racones, si ? La base d'une démo c'est d'utiliser des résultats supposés connus pour écrire quelque chose qui sera évident ligne à ligne. Si tu commences à utiliser des objets mal définis ou des résultats qui ne sont pas supposés connus, tu dois les démontrer.
Là ton utilisation de la notion de longueur est bonne pour un intervalle, mais n'est pas définie pour une union d'intervalle ; c'est carton rouge, même si on comprend l'idée. Parce qu'après tu utilises le résultat sur l'inclusion, qui est certes intuitif, mais pas si évident à démontrer. Donc sois utilises Lebesgue, sois ne l'utilise pas et fais proprement les choses

Bon sur ce je vais bosser...

Pour la notion de longueur: la longueur d'une union finie disjointe d'intervalle est bien définie (on prend juste la somme des longueurs). Pour être 100% rigoureux, il faudrait montrer un lemme: si on prend l'union de deux unions finies disjointes d'intervalles, alors la longueur est sous-additive.
Le lemme est assez naturel et pas très dur à montrer, et c'est tout ce dont on a besoin pour la démo de jeancommutatif

Là tu confonds monotonie, sous-additivité et sigma-additivité (ou quelque chose d'approchant). Une mesure est monotone (c'est ça la propriété sur l'inclusion qu'il utilise, car [0;1] et les U_i sont pas disjoints), et effectivement ça se démontrer facilement par sigma-additivité sur (B et B\A) + positivité de la mesure, mais c'est quand même une chtite propriété à démontrer pour être propre...

Le 28 juillet 2021 à 16:34:53 :

Le 28 juillet 2021 à 16:05:00 :

Le 28 juillet 2021 à 16:03:02 Efla120 a écrit :
https://www.jeuxvideo.com/forums/42-51-66638470-1-0-1-0-math-cette-demonstration-tourneboule-le-forum.htm

Tu narrais bien mieux auparavant l'op.

Comme tout bon foroumeur, jeancommutatif est désormais entré dans la boucle

Il est devenu ZINZIN

Jelphiryn je me souviens de toi! T'allais faire 5/2 t'hésitais entre aller à Supéchec ou cuber.

Tu fais quoi depuis ? Pourquoi tu dis que tu vas bosser ?

Salut khey ! Parce qu'askip je suis censé rédiger un rapport de stage sur mes heures de travail plutôt que de m'embrouiller avec un mec sur le forum parce qu'il justifie pas que sa pseudo-mesure de Lebesgue est pas monotone
Pour l'École, ça s'est pas passé trop mal, mais ça Sylves peut t'en témoigner

Bon, puisque vraiment t'as pas l'air convaincu je te fais une version détaillée, le but n'est pas forcément de dérouler tous les arguments mais bien de décortiquer la preuve pour te montrer ce dont on a réellement besoin, qu'il n'y a pas d'entourloupes, et qu'on a pas besoin de Lebesgue.

1)On commence avec 1=l([0;1]), là rien d'extravagant. On peut utiliser la définition l([a;b]) = l(]a;b[) = |b-a|.
2)Ensuite on a l(union des U_i) >= l([0;1]), tu noteras que l'union des U_i contient [0;1] et que c'est un intervalle (notons le J), donc pas besoin de mesure ici, la définition basique de l convient. De cette définition on montre très facilement la monotonie et donc le point deux est validé.
3)La sous-additivité finie, c'est le point le plus complexe de la chaine d'inégalités. Pour le démontrer on peut utiliser (comme expliqué dans un message précédent) l'astuce suivante : la longueur d'un intervalle c'est l'intégrale de son indicatrice. Notons f_i l'indicatrice de U_i et F l'indicatrice J. On sait par hypothèse que la somme des f_i vaut au moins 1 sur J donc
somme des l(U_i)=somme des int(f_i) = int(somme des f_i) >= int(J) = l(J) et le point 3) est validé. Tu noteras qu'on se contente de l'intégrale des fonctions en escalier et de ses propriétés.

Pour les autres inégalités de la chaine je pense qu'il n'y a pas de soucis, le tout est plus grand que la partie et tu sais probablement calculer la somme d'une suite géométrique.

Sinon pour la preuve de l'indénombrabilité de [0,1] : la longueur d'un intervalle borné n'est rien d'autre que l'intégrale de son indicatrice. Pas besoin d'une théorie très élaborée, l'intégrale d'une fonction en escalier (celle présentée en sup) suffit amplement. Ainsi le reste de la preuve se déroule normalement en utilisant la linéarité et la positivité de l'intégrale.

D'ailleurs, avec un argument de type densité on donne un sens à l'intégrale d'une fonction continue à support compact. Ensuite grâce à un théorème de représentation de Riesz, on sait qu'il existe une unique mesure de Radon qui représente notre intégrale. Cette mesure vous la connaissez, c'est la mesure de Lebesgue. On peut aussi partir de l'intégrale des polynômes, ou de n'importe quelle classe de fonctions « suffisamment riche ».

Le 28 juillet 2021 à 17:28:54 :
La pazifiante classique. Si un rectangle est rempli de rectangles de cotés entiers alors l'un de ses côtés est entier

Bordel je m'en rappelle, c'est dans le dernier Cassini d'algèbre je crois

Le 28 juillet 2021 à 17:18:12 :

Le 28 juillet 2021 à 16:40:26 :

Le 28 juillet 2021 à 16:10:53 :

Le 28 juillet 2021 à 16:04:52 :
La démo classique c'est d'étudier M-1/n*Id pour toute matrice M, et c'est connu que le polynôme caracteristique det(M-XIn) n'est pas nul Oui, on utilise ce résultat du cours...

Mais je suis d'accord sur notre désaccord : une démonstration mathématique dépend de l'interlocuteur; mais c'est pas pour autant que tu peux te passer de définir proprement tes objets pour être sûr qu'on parle de la même chose. Ça, c'est pas les goûts et les couleurs. Et oui, il faut supposer un cadre théorique commun. Donc c'est pour ça que je pars du programme de prépa, mais un programme de L2 irait aussi je pense. Si tu vas plus loin, précise le. Et là tu n'es pas clair dans les résultats que tu supposes connus : tu ne vas pas me dire que tu suppose hors-programme le fait qu'un polynôme ait un nombre fini de racones, si ? La base d'une démo c'est d'utiliser des résultats supposés connus pour écrire quelque chose qui sera évident ligne à ligne. Si tu commences à utiliser des objets mal définis ou des résultats qui ne sont pas supposés connus, tu dois les démontrer.
Là ton utilisation de la notion de longueur est bonne pour un intervalle, mais n'est pas définie pour une union d'intervalle ; c'est carton rouge, même si on comprend l'idée. Parce qu'après tu utilises le résultat sur l'inclusion, qui est certes intuitif, mais pas si évident à démontrer. Donc sois utilises Lebesgue, sois ne l'utilise pas et fais proprement les choses

Bon sur ce je vais bosser...

Pour la notion de longueur: la longueur d'une union finie disjointe d'intervalle est bien définie (on prend juste la somme des longueurs). Pour être 100% rigoureux, il faudrait montrer un lemme: si on prend l'union de deux unions finies disjointes d'intervalles, alors la longueur est sous-additive.
Le lemme est assez naturel et pas très dur à montrer, et c'est tout ce dont on a besoin pour la démo de jeancommutatif

Là tu confonds monotonie, sous-additivité et sigma-additivité (ou quelque chose d'approchant). Une mesure est monotone (c'est ça la propriété sur l'inclusion qu'il utilise, car [0;1] et les U_i sont pas disjoints), et effectivement ça se démontrer facilement par sigma-additivité sur (B et B\A) + positivité de la mesure, mais c'est quand même une chtite propriété à démontrer pour être propre...

Le 28 juillet 2021 à 16:34:53 :

Le 28 juillet 2021 à 16:05:00 :

Le 28 juillet 2021 à 16:03:02 Efla120 a écrit :
https://www.jeuxvideo.com/forums/42-51-66638470-1-0-1-0-math-cette-demonstration-tourneboule-le-forum.htm

Tu narrais bien mieux auparavant l'op.

Comme tout bon foroumeur, jeancommutatif est désormais entré dans la boucle

Il est devenu ZINZIN

Jelphiryn je me souviens de toi! T'allais faire 5/2 t'hésitais entre aller à Supéchec ou cuber.

Tu fais quoi depuis ? Pourquoi tu dis que tu vas bosser ?

Salut khey ! Parce qu'askip je suis censé rédiger un rapport de stage sur mes heures de travail plutôt que de m'embrouiller avec un mec sur le forum parce qu'il justifie pas que sa pseudo-mesure de Lebesgue est pas monotone
Pour l'École, ça s'est pas passé trop mal, mais ça Sylves peut t'en témoigner

Bon, puisque vraiment t'as pas l'air convaincu je te fais une version détaillée, le but n'est pas forcément de dérouler tous les arguments mais bien de décortiquer la preuve pour te montrer ce dont on a réellement besoin, qu'il n'y a pas d'entourloupes, et qu'on a pas besoin de Lebesgue.

1)On commence avec 1=l([0;1]), là rien d'extravagant. On peut utiliser la définition l([a;b]) = l(]a;b[) = |b-a|.
2)Ensuite on a l(union des U_i) >= l([0;1]), tu noteras que l'union des U_i contient [0;1] et que c'est un intervalle (notons le J), donc pas besoin de mesure ici, la définition basique de l convient. De cette définition on montre très facilement la monotonie et donc le point deux est validé.
3)La sous-additivité finie, c'est le point le plus complexe de la chaine d'inégalités. Pour le démontrer on peut utiliser (comme expliqué dans un message précédent) l'astuce suivante : la longueur d'un intervalle c'est l'intégrale de son indicatrice. Notons f_i l'indicatrice de U_i et F l'indicatrice J. On sait par hypothèse que la somme des f_i vaut au moins 1 sur J donc
somme des l(U_i)=somme des int(f_i) = int(somme des f_i) >= int(J) = l(J) et le point 3) est validé. Tu noteras qu'on se contente de l'intégrale des fonctions en escalier et de ses propriétés.

Pour les autres inégalités de la chaine je pense qu'il n'y a pas de soucis, le tout est plus grand que la partie et tu sais probablement calculer la somme d'une suite géométrique.

Kheyou, l'union des U_i est sans doute un intervalle, mais comment tu le démontres ? Ca ne me paraît pas trivial Et si c'est pas un intervalle, pas de théorie de l'intégration sur un segment

Mais en fait, tu n'en as pas besoin, car ce que tu fais, c'est réutiliser le début d'un cours sur la théorie de l'intégration de Lebesgue sans le dire ; c'est juste que tu utilise la précompacité pour ne pas avoir à traiter des cas infinis lors de ta définition de la mesure.

Je rédige ta démonstration proprement.

On définit la fonction l, qui à une union finie d'intervalle associe la somme des longueurs des intervalle.
La fonction l est positive (trivial) et "sigma-additive" (enfin, une sorte de sigma additivité dans le cas fini) : pour toute suite A1... AN, union d'intervalles avec les A_i deux à deux disjoints, l(Union des A_i) = Somme des l(A_i) (on le démontre en remarquant que si A_i et A_j sont disjoints, alors les intervalles de A_i et les intervalles de A_j sont eux aussi disjoints, et on calcule explicitement les sommes).

Comme elle est positive et "sigma-additive", elle est monotone (A inclus dans B l(A) <= l(B) (démo : (l(A\B union B) = l(A) + l(A\B))).
Maintenant, avec ton recouvrement des U_i : c'est bien un recouvrement d'ouverts. [0;1] est compact donc pré-compact (si je me gourre pas de terme), donc il existe un recouvrement fini de [0;1] U_1 à U_n d'ouverts. Et comme on est dans le cas fini, tout est bien défini pour l, et toutes les inégalités sont démontrées.

Le 28 juillet 2021 à 18:23:41 :

Le 28 juillet 2021 à 17:18:12 :

Le 28 juillet 2021 à 16:40:26 :

Le 28 juillet 2021 à 16:10:53 :

Le 28 juillet 2021 à 16:04:52 :
La démo classique c'est d'étudier M-1/n*Id pour toute matrice M, et c'est connu que le polynôme caracteristique det(M-XIn) n'est pas nul Oui, on utilise ce résultat du cours...

Mais je suis d'accord sur notre désaccord : une démonstration mathématique dépend de l'interlocuteur; mais c'est pas pour autant que tu peux te passer de définir proprement tes objets pour être sûr qu'on parle de la même chose. Ça, c'est pas les goûts et les couleurs. Et oui, il faut supposer un cadre théorique commun. Donc c'est pour ça que je pars du programme de prépa, mais un programme de L2 irait aussi je pense. Si tu vas plus loin, précise le. Et là tu n'es pas clair dans les résultats que tu supposes connus : tu ne vas pas me dire que tu suppose hors-programme le fait qu'un polynôme ait un nombre fini de racones, si ? La base d'une démo c'est d'utiliser des résultats supposés connus pour écrire quelque chose qui sera évident ligne à ligne. Si tu commences à utiliser des objets mal définis ou des résultats qui ne sont pas supposés connus, tu dois les démontrer.
Là ton utilisation de la notion de longueur est bonne pour un intervalle, mais n'est pas définie pour une union d'intervalle ; c'est carton rouge, même si on comprend l'idée. Parce qu'après tu utilises le résultat sur l'inclusion, qui est certes intuitif, mais pas si évident à démontrer. Donc sois utilises Lebesgue, sois ne l'utilise pas et fais proprement les choses

Bon sur ce je vais bosser...

Pour la notion de longueur: la longueur d'une union finie disjointe d'intervalle est bien définie (on prend juste la somme des longueurs). Pour être 100% rigoureux, il faudrait montrer un lemme: si on prend l'union de deux unions finies disjointes d'intervalles, alors la longueur est sous-additive.
Le lemme est assez naturel et pas très dur à montrer, et c'est tout ce dont on a besoin pour la démo de jeancommutatif

Là tu confonds monotonie, sous-additivité et sigma-additivité (ou quelque chose d'approchant). Une mesure est monotone (c'est ça la propriété sur l'inclusion qu'il utilise, car [0;1] et les U_i sont pas disjoints), et effectivement ça se démontrer facilement par sigma-additivité sur (B et B\A) + positivité de la mesure, mais c'est quand même une chtite propriété à démontrer pour être propre...

Le 28 juillet 2021 à 16:34:53 :

Le 28 juillet 2021 à 16:05:00 :

Le 28 juillet 2021 à 16:03:02 Efla120 a écrit :
https://www.jeuxvideo.com/forums/42-51-66638470-1-0-1-0-math-cette-demonstration-tourneboule-le-forum.htm

Tu narrais bien mieux auparavant l'op.

Comme tout bon foroumeur, jeancommutatif est désormais entré dans la boucle

Il est devenu ZINZIN

Jelphiryn je me souviens de toi! T'allais faire 5/2 t'hésitais entre aller à Supéchec ou cuber.

Tu fais quoi depuis ? Pourquoi tu dis que tu vas bosser ?

Salut khey ! Parce qu'askip je suis censé rédiger un rapport de stage sur mes heures de travail plutôt que de m'embrouiller avec un mec sur le forum parce qu'il justifie pas que sa pseudo-mesure de Lebesgue est pas monotone
Pour l'École, ça s'est pas passé trop mal, mais ça Sylves peut t'en témoigner

Bon, puisque vraiment t'as pas l'air convaincu je te fais une version détaillée, le but n'est pas forcément de dérouler tous les arguments mais bien de décortiquer la preuve pour te montrer ce dont on a réellement besoin, qu'il n'y a pas d'entourloupes, et qu'on a pas besoin de Lebesgue.

1)On commence avec 1=l([0;1]), là rien d'extravagant. On peut utiliser la définition l([a;b]) = l(]a;b[) = |b-a|.
2)Ensuite on a l(union des U_i) >= l([0;1]), tu noteras que l'union des U_i contient [0;1] et que c'est un intervalle (notons le J), donc pas besoin de mesure ici, la définition basique de l convient. De cette définition on montre très facilement la monotonie et donc le point deux est validé.
3)La sous-additivité finie, c'est le point le plus complexe de la chaine d'inégalités. Pour le démontrer on peut utiliser (comme expliqué dans un message précédent) l'astuce suivante : la longueur d'un intervalle c'est l'intégrale de son indicatrice. Notons f_i l'indicatrice de U_i et F l'indicatrice J. On sait par hypothèse que la somme des f_i vaut au moins 1 sur J donc
somme des l(U_i)=somme des int(f_i) = int(somme des f_i) >= int(J) = l(J) et le point 3) est validé. Tu noteras qu'on se contente de l'intégrale des fonctions en escalier et de ses propriétés.

Pour les autres inégalités de la chaine je pense qu'il n'y a pas de soucis, le tout est plus grand que la partie et tu sais probablement calculer la somme d'une suite géométrique.

Kheyou, l'union des U_i est sans doute un intervalle, mais comment tu le démontres ? Ca ne me paraît pas trivial Et si c'est pas un intervalle, pas de théorie de l'intégration sur un segment

Mais en fait, tu n'en as pas besoin, car ce que tu fais, c'est réutiliser le début d'un cours sur la théorie de l'intégration de Lebesgue sans le dire ; c'est juste que tu utilise la précompacité pour ne pas avoir à traiter des cas infinis lors de ta définition de la mesure.

Je rédige ta démonstration proprement.

On définit la fonction l, qui à une union finie d'intervalle associe la somme des longueurs des intervalle.
La fonction l est positive (trivial) et "sigma-additive" (enfin, une sorte de sigma additivité dans le cas fini) : pour toute suite A1... AN, union d'intervalles avec les A_i deux à deux disjoints, l(Union des A_i) = Somme des l(A_i) (on le démontre en remarquant que si A_i et A_j sont disjoints, alors les intervalles de A_i et les intervalles de A_j sont eux aussi disjoints, et on calcule explicitement les sommes).

Comme elle est positive et "sigma-additive", elle est monotone (A inclus dans B l(A) <= l(B) (démo : (l(A\B union B) = l(A) + l(A\B))).
Maintenant, avec ton recouvrement des U_i : c'est bien un recouvrement d'ouverts. [0;1] est compact donc pré-compact (si je me gourre pas de terme), donc il existe un recouvrement fini de [0;1] U_1 à U_n d'ouverts. Et comme on est dans le cas fini, tout est bien défini pour l, et toutes les inégalités sont démontrées.

J'oubliais : dernière inégalité que tu utilise : l(A union B) <= l(A) + l(B) Considérer l(A\B union B) puis utiliser la monotonie. Récurrence à faire pour n quelconque.

Kheyou, l'union des U_i est sans doute un intervalle, mais comment tu le démontres ? Ca ne me paraît pas trivial Et si c'est pas un intervalle, pas de théorie de l'intégration sur un segment

Ce n'est probablement pas un intervalle. Quant à l'intégrale, pas besoin de se limiter à un segment. On peut définir l'intégrale d'une fonction en escalier à support borné, ce n'est pas un obstacle.

On définit la fonction l, qui à une union finie d'intervalle associe la somme des longueurs des intervalle.

L'union doit être disjointe! Tu dois encore prouver qu'une union finie d'intervalles se décompose effectivement en une union finie disjointe, et que la quantité qu'on appelle longueur ne dépend pas de cette décomposition.

démo : (l(A\B union B) = l(A) + l(A\B)))

On doit s'assurer que les « unions finies d'intervalles » sont stables par différence.

est compact donc pré-compact

Certes...

On a un recouvrement ouvert du compact [0,1], donc il existe un sous-recouvrement fini.

J'ai l'impression que tu ne lis pas vraiment ce que j'écris Jelphiryn...

La pré-compacité n'est pas ce que tu crois : https://fr.wikipedia.org/wiki/Espace_pr%C3%A9compact
L'extraction de sous recouvrement finis c'est la définition de la compacitémodulo la notion de séparation selon que l'on suive les conventions anglophones ou francophones.

La sigma-additivité n'est pas ce que tu crois non plus, ici le sigma signifie que ça vaut aussi pour les unions infinies dénombrables. Ta "sorte de sigma additivité dans le cas fini" c'est juste de l'additivité (finie), que je n'utilise pas, je me contente de démontrer une sous-additivité (finie).

Et ce que tu appelles le début d'un cours sur la théorie de la mesure est uniquement le début de cours de L1 sur l'intégrale de Riemann et les fonctions en escalier. Quant à ta "démonstration rédigée proprement" DonDoritos y a déjà répondu, alors la paille la poutre tout ça...

Bon et voilà la démonstration du fait que l'union des U_i est bien un intervalle, je le mets en spoil parce que c'est un exercice que je te conseille, il n'est pas dur.
Notons J l'union des U_i, on sait que [0;1] est inclus dans J par hypothèse. Soit x>1 un point de J, il appartient à un des U_i, dont le centre c_i est dans [0;1], par conséquent [c_i;x] est dans J et donc [0;x] est dans J. La démonstration marche exactement pareil avec des y<0. J est donc convexe, c'est un intervalle.

Vu que je suis sur mobile je fais les commentaires de mémoire à chaque fois, mais si je te lis.

Pour la pré-compacité je reconnais mon erreur; j'ai l'habitude de la compacité séquentielle (celle de prépa) et la caractérisation avec l'axiome de Borel-Lebesgue m'est moins familière. D'où la confusion.

Et ok, si tu as que l'union des U_i est un intervalle, alors ta démonstration fonctionne, mais je vais quand même bougonner parce que tu n'avais initialement pas énoncé (ni même démontré) le fait que l'union des U_i est un intervalle ni le fait que la longueur des segements était sous-additive
D'ailleurs tu remarqueras que Dondoritos lui-même a dit que ce n'était probablement pas un intervalle (c'est en fait là qu'est toute l'absurdité de la démonstration, le recouvrement fini est un intervalle trop petit pour recouvrir [0;1], il est en fait troué pour ainsi dire). Donc le fait que par construction, l'union de tes U_i est un intervalle n'est pas évident.

Et effectivement, les remarques de Dondoritos sont pertinentes vu que j'essaye de définir une mesure qui fonctionne en dehors du cas des intervalles et que je m'y prends comme un pied. Mais j'ai essayé de le faire parce que j'avais compris de ta démonstration que tu sortais du cadre de la longueur d'un intervalle, vu que tu utilisais ta longueur sur quelque chose qui n'était pas de façon évidente un intervalle.

Dondoritos Vu que j'ai essayé de construire une sorte de mesure de Lebesgue dans le cas fini et que je l'ai mal fait, ma définition est effectivement très bancale, donc ça marche pas. Il faudrait sans doute passer par la notion de classes de connexité pour faire ça proprement.

En revanche j'achète pas l'intégrale de Riemann sur autre chose qu'un intervalle; ça peut certes se définir mais dans ce cas je suis pas sûr que ça s'appelle encore intégrale de Riemann...