[MATH] La célèbre hypothèse de Riemann expliquée aux khey

Le 28 juin 2020 à 21:26:30 Ghauss3 a écrit :
Je voulais faire des topics de ce genre, mais je n'ai pas eu la force d'écrire et d'essayer de vulgariser les notions que je voulais.
Des conseils à ce sujet ?
Parce que je n'arrive pas à être ludique, ni pédagogue, mais faire ce genre de topics m'intéresse grandement.
Sur des trucs moins connus que les 7 problèmes du millénaire par contre.

j'aimerais lire ça

Le 28 juin 2020 à 21:28:44 Choucador a écrit :

Le 28 juin 2020 à 21:26:30 Ghauss3 a écrit :
Je voulais faire des topics de ce genre, mais je n'ai pas eu la force d'écrire et d'essayer de vulgariser les notions que je voulais.
Des conseils à ce sujet ?
Parce que je n'arrive pas à être ludique, ni pédagogue, mais faire ce genre de topics m'intéresse grandement.
Sur des trucs moins connus que les 7 problèmes du millénaire par contre.

j'aimerais lire ça

Bah si j'arrive à écrire et à avoir le temps de faire des pavés, oui, je le pourrais.
Le problème étant le choix du sujet.

Le 28 juin 2020 à 21:26:30 Ghauss3 a écrit :
Je voulais faire des topics de ce genre, mais je n'ai pas eu la force d'écrire et d'essayer de vulgariser les notions que je voulais.
Des conseils à ce sujet ?
Parce que je n'arrive pas à être ludique, ni pédagogue, mais faire ce genre de topics m'intéresse grandement.
Sur des trucs moins connus que les 7 problèmes du millénaire par contre.

Ecoute, je me lance tout juste dans le domaine, donc si personne ne comprend rien, il sera peut être préférable de demander à quelqu'un d'autre

Le 28 juin 2020 à 21:27:34 Choucador a écrit :
Ça part un peu dans tous les sens ton histoire

C'est normal, tu comprendras l'utilité d'introduire ces différentes choses au fur et à mesure de l'avancement du topic. Ca aide aussi à mesurer la richesse du problème qui fait intervenir un tas de notion à priori sans rapport.

fameux système de sécurité RSA.

jerry mais cest quoi ça

Le 28 juin 2020 à 21:26:30 Ghauss3 a écrit :
Je voulais faire des topics de ce genre, mais je n'ai pas eu la force d'écrire et d'essayer de vulgariser les notions que je voulais.
Des conseils à ce sujet ?
Parce que je n'arrive pas à être ludique, ni pédagogue, mais faire ce genre de topics m'intéresse grandement.
Sur des trucs moins connus que les 7 problèmes du millénaire par contre.

Lance toi mon marlou, on soutient ce genre d'initiative même si ce n'est pas parfait, ça le deviendra

Le 28 juin 2020 à 21:31:33 Cornettotrilogy a écrit :

Le 28 juin 2020 à 21:26:30 Ghauss3 a écrit :
Je voulais faire des topics de ce genre, mais je n'ai pas eu la force d'écrire et d'essayer de vulgariser les notions que je voulais.
Des conseils à ce sujet ?
Parce que je n'arrive pas à être ludique, ni pédagogue, mais faire ce genre de topics m'intéresse grandement.
Sur des trucs moins connus que les 7 problèmes du millénaire par contre.

Ecoute, je me lance tout juste dans le domaine, donc si personne ne comprend rien, il sera peut être préférable de demander à quelqu'un d'autre

Le 28 juin 2020 à 21:27:34 Choucador a écrit :
Ça part un peu dans tous les sens ton histoire

C'est normal, tu comprendras l'utilité d'introduire ces différentes choses au fur et à mesure de l'avancement du topic. Ca aide aussi à mesurer la richesse du problème qui fait intervenir un tas de notion à priori sans rapport.

Bah ton pavé est plutôt claire et compréhensible, les gens comprennent là, non ?

Le 28 juin 2020 à 21:32:27 canardpecheure a écrit :

Le 28 juin 2020 à 21:26:30 Ghauss3 a écrit :
Je voulais faire des topics de ce genre, mais je n'ai pas eu la force d'écrire et d'essayer de vulgariser les notions que je voulais.
Des conseils à ce sujet ?
Parce que je n'arrive pas à être ludique, ni pédagogue, mais faire ce genre de topics m'intéresse grandement.
Sur des trucs moins connus que les 7 problèmes du millénaire par contre.

Lance toi mon marlou, on soutient ce genre d'initiative même si ce n'est pas parfait, ça le deviendra

Je verrais bien, mais les réactions d'ici à ce sujet me stressent tout de même un peu.

Le 28 juin 2020 à 21:33:29 Ghauss3 a écrit :

Le 28 juin 2020 à 21:32:27 canardpecheure a écrit :

Le 28 juin 2020 à 21:26:30 Ghauss3 a écrit :
Je voulais faire des topics de ce genre, mais je n'ai pas eu la force d'écrire et d'essayer de vulgariser les notions que je voulais.
Des conseils à ce sujet ?
Parce que je n'arrive pas à être ludique, ni pédagogue, mais faire ce genre de topics m'intéresse grandement.
Sur des trucs moins connus que les 7 problèmes du millénaire par contre.

Lance toi mon marlou, on soutient ce genre d'initiative même si ce n'est pas parfait, ça le deviendra

Je verrais bien, mais les réactions d'ici à ce sujet me stressent tout de même un peu.

faut pas écouter les hainix osef de leurs réactions ce qui compte cest les smartass

Le 28 juin 2020 à 21:33:29 Ghauss3 a écrit :

Le 28 juin 2020 à 21:32:27 canardpecheure a écrit :

Le 28 juin 2020 à 21:26:30 Ghauss3 a écrit :
Je voulais faire des topics de ce genre, mais je n'ai pas eu la force d'écrire et d'essayer de vulgariser les notions que je voulais.
Des conseils à ce sujet ?
Parce que je n'arrive pas à être ludique, ni pédagogue, mais faire ce genre de topics m'intéresse grandement.
Sur des trucs moins connus que les 7 problèmes du millénaire par contre.

Lance toi mon marlou, on soutient ce genre d'initiative même si ce n'est pas parfait, ça le deviendra

Je verrais bien, mais les réactions d'ici à ce sujet me stressent tout de même un peu.

Ahah c'est là toute la difficulté de la pédagogie , réussir à taper juste et ne pas taper trop fort.

Revenons-en à Euler.

Qu'à t-il découvert de si incroyable à propos de "sa" fonction zêta ?

Il a découvert que la somme qui la définie pouvait être factorisée en un produit portant sur tous les nombres premiers (il s'agit donc d'un produit infini). Et ça, c'était du jamais vu. Il démontre donc cette égalité : https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0b2ed621be45d82987aeff774437d4c5e962fd4
Le symbole le plus à gauche, c'est la lettre grecque zêta. Tandis que le pi majuscule, c'est le symbole de l'opération "produit". On peut voir en dessous de celui-ci une notation qui indique que le produit porte sur tous les nombres premiers.

Cette formule, elle est tout simplement magique. Ce produit ne tarde pas à être nommé "produit Eulérien". Ce produit est égale à zêta pour toute valeur de s supérieur à 1. On verra plus tard que la fonction zêta peut être prolongée à toutes valeurs complexes, mais chaque chose en son temps.

Là où cette découverte est incroyable, c'est qu'elle est une reformulation analytique du théorème fondamentale de l'arithmétique (tout nombre entier peut être écrit comme un unique produit de nombre premier). Car les nombres premiers sont un domaine qui appartient à l'arithmétique. Et cette formule, c'était la première qui faisait un pont entre l'analyse et l'arithmétique, deux sujet à priori sans rapport. L'analyse étant, de manière très générale, l'étude de fonction, qu'elles soient à valeur réelles ou complexes. Euler en profite également pour redémontrer, à partir de cette formule, le théorème d'Euclide sur l'infinité des nombres premiers.

Mais il faudra attendre Riemann pour connaître la véritable percée dans la question des nombres premiers. Une percée sans aucun doute décisive.

En effet, dans les années 1800, plutôt fin 1800, Riemann décide de s'intéresser à la fonction zêta d'Euler. Et son approche totalement nouvelle pour l'époque va faire des merveilles.

Comme je l'ai dis plus tôt, la fonction zêta est valable pour s supérieur à 1. Mais Riemann a plus d'un tour dans son sac, et fort des nombreux outils qui ont été découverts peu avant, il trouve un moyen de prolonger cette fonction pour toute valeur de s complexes, différentes de 1, qui représente dés lors ce qu'on appelle un "pole" de la fonction, c'est à dire que en dépit de nos techniques de prolongement, la fonction n'est pas définie en ce point car elle y admet une singularité, ce qui signifie qu'elle devient infinie et donc indéfini, car contrairement aux idées reçus, on ne fait pas n'importe quoi avec l'infini en math Venons-en à cette histoire de prolongement.

Mais expliquons d'abord ce qu'est un nombre complexe, car c'est très important pour la suite. C'est un nombre qui s'écrit sous la forme z=a+i*b, où a et b sont des nombres réelles et i définit l'unité imaginaire, tel que i^2= -1. La quantité "a" s'appelle partie réelle de z et la quantité "i*b" s'appelle partie imaginaire de z.

Donc Riemann prolonge zêta à toute valeur complexe différente de 1. Je peux donner les détails de ce prolongement pour les khey les plus curieux, en espérant bien m'en rappelé pour le coup Les autres peuvent passer au prochain message, il faut juste retenir deux choses importantes : la somme que j'ai donné précédemment ne définit plus la fonction zêta dans tout le plan, car elle n'est valide que pour s>1. De plus, zêta a une propriété "particulière" : elle est holomorphe. Ce qui nous garantit qu'elle admet un prolongement unique dans le plan complexe.

ll part de la définition de la fonction gamma : https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d270761591a5fcf2995695730d74f6534c52544https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d270761591a5fcf2995695730d74f6534c52544
Avec le changement de variable t=n*x, n entier naturel, et un peu de calcul, il arrive à ça :
https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ce35df576ac15dc890e8e840a244576804ea8a9
Puis, il modifie le contour de l'intégrale (faut être un peu calé quand même quand il s'agit de comprendre une intégrale curviligne ) qu'il transforme comme suit :
le chemin est un lacet allant de + infini jusqu'à epsilon plus petit que 2pi, puis encercle l'origine, pour en suite repartir vers + infini. Il fini par trouver une somme de 3 intégrales dépendante de epsilon et montre que zeta(s) , puisqu'elle ne dépend pas de epsilon, n'est autre que la limite de cette formule lorsque epsilon tend vers 0.
Il obtient donc une intégrale valide dans tout le plan complexe sauf en 1, pardonnez moi d'avance si je fais une erreur dans le choix du contour, car j'ai un petit doute qui me saisit, mais il me semble que c'est ça. C'est n'est pas important pour la suite de toute façon, je ne suis pas là pour être rigoureux

Je pense que la suite viendra demain, je suis fatigué et je ne veux pas écrire de conneries, mais sachez que je ne ferais pas qu'énoncer l'hypothèse, je parlerais encore d'un tas d'autre chose en lien avec elle, et je tenterais de montrer pourquoi cette dernière est si belle.

Le 28 juin 2020 à 21:52:04 410maTuer a écrit :
Ok c'est bien et ça sert à quoi de savoir ce truc ? Qu'est-ce que ça ouvre en terme de connaissance ?

Les nombres premiers, c'est fondamental. Ce n'est pas une question d'utilité concrète, c'est une question de meilleure connaissance de notre arithmétique dont les nombres premiers sont la base. Avec toutes nos connaissances, ce serait quand même sympa qu'on comprenne un peu mieux ce qui constitue notre arithmétique je pense Et c'est un sujet passionnant!

Le 28 juin 2020 à 21:32:26 AtomeMarlou a écrit :

fameux système de sécurité RSA.

jerry mais cest quoi ça

C'est un algorithme qui permet de sécuriser des données grossos modo, c'est utilisé à plein d'endroit, notamment les échanges sur internet. Après ça touche plutôt à l'algorithmique donc je préfère ne pas trop m'étendre pour ne pas dire de conneries.

Le 28 juin 2020 à 21:32:43 Ghauss3 a écrit :

Le 28 juin 2020 à 21:31:33 Cornettotrilogy a écrit :

Le 28 juin 2020 à 21:26:30 Ghauss3 a écrit :
Je voulais faire des topics de ce genre, mais je n'ai pas eu la force d'écrire et d'essayer de vulgariser les notions que je voulais.
Des conseils à ce sujet ?
Parce que je n'arrive pas à être ludique, ni pédagogue, mais faire ce genre de topics m'intéresse grandement.
Sur des trucs moins connus que les 7 problèmes du millénaire par contre.

Ecoute, je me lance tout juste dans le domaine, donc si personne ne comprend rien, il sera peut être préférable de demander à quelqu'un d'autre

Le 28 juin 2020 à 21:27:34 Choucador a écrit :
Ça part un peu dans tous les sens ton histoire

C'est normal, tu comprendras l'utilité d'introduire ces différentes choses au fur et à mesure de l'avancement du topic. Ca aide aussi à mesurer la richesse du problème qui fait intervenir un tas de notion à priori sans rapport.

Bah ton pavé est plutôt claire et compréhensible, les gens comprennent là, non ?

J'espère ! Mais merci, ça me fait plaisir que ça soit compréhensible, c'est clairement pas évident de transmettre des idées sans tomber dans le trop/pas assez
Joli pseudo au passage

Le 28 juin 2020 à 22:57:29 Lagrangien a écrit :
C'est intéressant et clair, continue ! Par contre dans la dernière partie (contour de l'intégrale) je pense que tu as perdu ceux à qui tu as vendu des maths basiques exclusivement (j'imagine que c'est trivial pour certains, mais je trouve ça déjà difficile)

Ne t'inquiète pas, ça n'a rien de trivial, et il s'agit vraiment de donner des détails aux khey qui voudraient en savoir un peu plus sur les maths derrière ça. Ca donne aussi une justification, car j'ai remarqué en expliquant à d'autres personnes intéressée que le question du prolongement posait souvent un peu problème dans le fait de comprendre qu'il s'agit d'une nouvelle expression et que la somme citée précédemment n'est juste plus utilisable dans le cas de l'ensemble du plan complexe, car, encore une fois, elle diverge pour toute valeur égale ou inférieur à 1.

Si ça vous intéresse, il y a le papier original de Riemann dans lequel il expose ses investigations sur la fonction zêta et son lien avec la fonction de répartition des nombres premiers.

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/cb/Ueber_die_Anzahl_der_Primzahlen_unter_einer_gegebenen_Gr%C3%B6sse.pdf?uselang=fr

Pour les germanophobes

https://fr.wikisource.org/wiki/Sur_le_nombre_de_nombres_premiers_inf%C3%A9rieurs_%C3%A0_une_taille_donn%C3%A9e_(Riemann,_trad._Laugel)

Bon finalement je suis lancé, alors je continue

Revenons-en à Riemann. Une fois zeta prolongée à tout le plan complexe, il démontre une propriété importante de la fonction : son équation fonctionnelle. Ce qu'il faut retenir de l'équation fonctionnelle, qui est peut être un peu trop compliquée pour être montrée ici, c'est que la fonction zeta une propriété de symmétrie. Elle reste inchangée, à quelques facteurs près, lorsque s est remplacé par 1-s. Il montre en suite que la fonction ne peut s'annuler (c'est à dire valoir 0) que dans la région 0<Re(s)<=1, où Re(s) signifie "partie réelle de s". Il énonce en suite sa célèbre hypothèse (qui est une conjecture ) : tous les zéros de la fonction zêta ont pour partie réelles 1/2.

Bien entendu, cette conjecture ne sort pas de nul part, Riemann avait calculé les premiers zéros à la main, à l'aide d'une formule qu'il découvrit tout seul et qui fut redécouverte dans ses notes des dizaines d'années plus tard. On comprend mieux à quel point le mec a pu être en avance sur ses contemporains pour le coup Mais il énonce aussi avoir mis de côté une éventuelle démonstration de ce fait après ce qu'il qualifie de rapides essais infructueux, se justifiant par le fait que la connaissance de la position des zéros n'étaient pas utile dans le but immédiat de son étude.

Car le but immédiat de son étude, c'est de montrer, tout d'abord, que Gauss avait raison (même si en réalité, il ne le démontre pas et il faudra attendre encore des dizaines d'années avant que la conjecture de gauss soit démontrée, mais j'y reviendrais) et en particulier, qu'il existe non pas une approximation, mais une formule exacte comptant les nombres premier, faisant intervenir tous les zéros de de la fonction zêta, et ça, c'est une sacré surprise en plus d'être une superbe prouesse.

La fonction de compte des nombres premiers que Riemann utilise est un peu différente et peut être moins intuitive que Pi(x), disons que c'est sa version analytique. Cette fonction compte également les puissances de nombres premiers. Vous vous souvenez de la fonction Li(x) ? Elle est de retour. Voici la célèbre formules exactes de riemann : https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f456844cb21fc391c5c2904cbc34ebcd095c0d0
A gauche de cette égalité, on trouve la fameuse fonction f(x), qui est la fonction de compte des nombres premiers modifiées que j'ai mentionnée juste avant. A droite, on retrouve comme premier terme la fonction Li(x) ! La fameuse excellente approximation de Gauss. Mais plus intéressant encore, après Li(x), on trouve une somme portant sur les zéros de la fonction zêta! Je rappelle que la formule pour f(x) n'est pas une approximation. Les deux derniers termes ne sont pas intéressants et n'apportent pratiquement rien.

On remarque que les zéros sont directement sur l'exposant de x dans la fonction Li(x), ce fait peut s'interpréter comme suit :
Le premier terme Li(x) est l'approximation de la fonction. Le second terme qui porte sur une somme sur les zéros apporte une correction qui rend l'approximation de plus en plus précise à mesure que l'on rajoute des zéros. La formule devient exacte de manière théorique, puisqu'il faut connaître tous les zéros pour que l'égalité soit parfaitement vraie.

Cette formule n'a pas tant d'intérêt pratique, mais elle montre un phénomène théorique encore mal compris à ce jour : il y a une sorte de dualité entre les nombres premiers et les zéros de la fonction. C'est comme si les zéros "savaient" où se trouve les nombres premiers puisque je le rappel, ils viennent corriger l'approximation Li(x) du premier terme. Les zéros peuvent être vu comme des ondes : la partie réelle définit l'amplitude de l'onde, tandis que la partie imaginaire définit sa période.

Bon aller, la suite arrive demain cette fois

Le 28 juin 2020 à 23:37:19 DonDoritos9 a écrit :
Si ça vous intéresse, il y a le papier original de Riemann dans lequel il expose ses investigations sur la fonction zêta et son lien avec la fonction de répartition des nombres premiers.

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/cb/Ueber_die_Anzahl_der_Primzahlen_unter_einer_gegebenen_Gr%C3%B6sse.pdf?uselang=fr

Pour les germanophobes

https://fr.wikisource.org/wiki/Sur_le_nombre_de_nombres_premiers_inf%C3%A9rieurs_%C3%A0_une_taille_donn%C3%A9e_(Riemann,_trad._Laugel)

haaa trop bien j'étais en train le chercher depuis 10 minutes Merci !