[MATH] La célèbre hypothèse de Riemann expliquée aux khey

Le 01 juillet 2020 à 14:18:25 Cornettotrilogy a écrit :
Pourquoi il est raisonnable de ne pas avoir de certitude sur HR

La raison mathématique (et non pas subjective comme le côté plus naturelle de la finalité de HR) la plus forte en sa faveur, c'est bien entendu les vérifications numériques. Car en plus d'être certain que tous les zéros de parties imaginaires t<10^14 satisfont l'hypothèse de Riemann, on a vérifié pour plein d'autres valeurs encore plus grande de t, et comme vous vous en doutez, on a jamais trouvé de contre-exemple. Mais voilà, les vérifications numériques, ça n'est pas tout. Et l'exemple que je vais prendre est directement en lien avec HR.

En effet, on se rappel que d'après le théorème des nombres premiers, Pi(x)~Li(x), ce qui n'était pas démontré à l'époque de Riemann du coup. Mais une autre conjecture, que Riemann semble admettre totalement dans son article révolutionnaire, affirmait que Li(x)>Pi(x) pour tout x. A l'époque, ça avait été vérifié pour mal de valeur, et personne ne voyait de raison que ça change. Mais au début des années 1900, John Littlewood a démontré que l'inégalité s'inversait une infinité de fois, sans toutefois donner un contre-exemple effectif. C'est un de ses élèves, Skewes, qui va estimer la taille du premier contre exemple et c'est colossal : 10^10^10^34

Heureusement depuis le résultat a été amélioré, et on estime le premier contre exemple autour de, en gros, 2*10^316. Ce qui reste absolument énorme. Voilà pourquoi il ne faut pas trop se fier aux vérifications numériques, en tout cas dans le cas de RH. D'ailleurs pour enfoncer le clou (), parlons de la fonction S(t). Dans son article, Riemann a montré, pas très rigoureusement , qu'il existe une formule pour calculer le nombre de zéros dans un rectangle de hauteur T.

C'est là où S(t) apparait. Cette fonction, aussi appelée argument de la fonction zêta, décrit grosso modo la petite déviation entre le nombre attendu de zéros dans la bande et le véritable nombre. Sans hypothèse forte, on obtient que l'ordre de grandeur de S(t) est O(log(t)).On sait également qu'elle joue un rôle cruciale dans l'hypothèse de Riemann. Le problème, c'est qu'elle grandit vraiment très lentement. Elle a été bien sûr été calculée pour des grandes valeurs de t, et la plus grande valeur de S(t) observée est 3,4 Il est également connu que la fonction change de signe une infinité de fois.

Sous l'hypothèse de Riemann, l'ordre de grandeur de S(t) est O(log t/(log log t)), autant dire qu'on en est très loin Mais comme je le disais, l'hypothèse de Riemann dépend de la croissance de s(t), et le problème d'une fonction qui grandit si lentement, c'est que pour se faire une véritable idée du comportement "typique" de cette dernière, il faudrait aller voir à des hauteurs qui dépasse nos capacités de calculs. Ce qui montre que malgré le grand nombre de zéros trouvés et vérifiant l'hypothèse de Riemann, nous sommes encore loin de pouvoir appuyer nos certitudes là-dessus

T'es un type investi toi