[MATHS] Question HIGH QI

Est-ce que toute matrice de Mn(C) est somme d'une matrice diagonale et d'une matrice nilpotente?

Si oui, preuve
Si non, contre exemple

Oui, toute matrice \( A \in M_n(\mathbb{C}) \) est somme d'une matrice diagonale \( D \) et d'une matrice nilpotente \( N \). Ce résultat est une conséquence du fait que le corps des nombres complexes est algébriquement clos. Voici une démonstration succincte de ce fait :

1. 1. 1. Démonstration :

1. **Théorème de Jordan** :
Toute matrice \( A \in M_n(\mathbb{C}) \) est semblable à une matrice sous forme normale de Jordan \( J \), c'est-à-dire qu'il existe une matrice inversible \( P \) telle que \( A = PJP^{-1} \). La forme de Jordan \( J \) est composée de blocs de Jordan.

2. **Décomposition de Jordan** :
La matrice \( J \) (ou \( A \), par équivalence) peut être écrite comme la somme de deux matrices :
\[
J = D + N
\]
où :
- \( D \) est une matrice diagonale contenant les valeurs propres de \( A \) sur sa diagonale.
- \( N \) est une matrice nilpotente (les blocs de Jordan de taille \( k > 1 \) génèrent des termes au-dessus de la diagonale).

La nilpotence de \( N \) provient du fait qu'elle est strictement triangulaire supérieure lorsqu'on enlève les termes diagonaux de \( J \).

3. **Retour à la matrice initiale** :
Comme \( A = PJP^{-1} \), on obtient \( A = P(D + N)P^{-1} = PD P^{-1} + PN P^{-1} \). En posant :
- \( D' = PD P^{-1} \) (matrice diagonale semblable à \( D \)),
- \( N' = PN P^{-1} \) (matrice nilpotente semblable à \( N \)),

on a \( A = D' + N' \), où \( D' \) est diagonale et \( N' \) est nilpotente.

1. 1. 1. Conclusion :

Toute matrice \( A \in M_n(\mathbb{C}) \) est la somme d'une matrice diagonale \( D' \) et d'une matrice nilpotente \( N' \). Ce résultat repose essentiellement sur les propriétés du corps des complexes et la décomposition en blocs de Jordan.

Le 27 janvier 2025 à 14:33:57 :
On ne va pas faire tes exos hin

La réponse de quelqu'un qui a pas dépassé le bac

Le 27 janvier 2025 à 14:37:58 :
Oui, toute matrice \( A \in M_n(\mathbb{C}) \) est somme d'une matrice diagonale \( D \) et d'une matrice nilpotente \( N \). Ce résultat est une conséquence du fait que le corps des nombres complexes est algébriquement clos. Voici une démonstration succincte de ce fait :

1. 1. 1. Démonstration :

1. **Théorème de Jordan** :
Toute matrice \( A \in M_n(\mathbb{C}) \) est semblable à une matrice sous forme normale de Jordan \( J \), c'est-à-dire qu'il existe une matrice inversible \( P \) telle que \( A = PJP^{-1} \). La forme de Jordan \( J \) est composée de blocs de Jordan.

2. **Décomposition de Jordan** :
La matrice \( J \) (ou \( A \), par équivalence) peut être écrite comme la somme de deux matrices :
\[
J = D + N
\]
où :
- \( D \) est une matrice diagonale contenant les valeurs propres de \( A \) sur sa diagonale.
- \( N \) est une matrice nilpotente (les blocs de Jordan de taille \( k > 1 \) génèrent des termes au-dessus de la diagonale).

La nilpotence de \( N \) provient du fait qu'elle est strictement triangulaire supérieure lorsqu'on enlève les termes diagonaux de \( J \).

3. **Retour à la matrice initiale** :
Comme \( A = PJP^{-1} \), on obtient \( A = P(D + N)P^{-1} = PD P^{-1} + PN P^{-1} \). En posant :
- \( D' = PD P^{-1} \) (matrice diagonale semblable à \( D \)),
- \( N' = PN P^{-1} \) (matrice nilpotente semblable à \( N \)),

on a \( A = D' + N' \), où \( D' \) est diagonale et \( N' \) est nilpotente.

1. 1. 1. Conclusion :

Toute matrice \( A \in M_n(\mathbb{C}) \) est la somme d'une matrice diagonale \( D' \) et d'une matrice nilpotente \( N' \). Ce résultat repose essentiellement sur les propriétés du corps des complexes et la décomposition en blocs de Jordan.

Nawak

D' est diagonalisable, pas diagonale : chatgpt ce low

Le 27 janvier 2025 à 14:34:53 :
Indice : trigonalisable

Va plus loin

Le 27 janvier 2025 à 14:44:23 :
Dans la vie quotidienne, ce genre de concepts mathématiques a peu d'impact direct, sauf si tu es dans un domaine lié à l’ingénierie, la physique, l'informatique ou la finance quantitative.

Certes.

L'un n'empêche pas l'autre

Le 27 janvier 2025 à 14:44:23 :
Dans la vie quotidienne, ce genre de concepts mathématiques a peu d'impact direct, sauf si tu es dans un domaine lié à l’ingénierie, la physique, l'informatique ou la finance quantitative.

Le sujet ne te concerne pas tu peux disposax

Le 27 janvier 2025 à 14:50:14 :
Mn(R) plutôt ?

Si tu y arrives dans Mn(R) c'est déjà bien

Le 27 janvier 2025 à 14:57:05 :
La preuve est connue pelo
https://math.stackexchange.com/questions/2331644/complex-matrix-decomposition-into-the-sum-of-a-diagonalizable-and-a-nilpotent-ma

diagonale

Le 27 janvier 2025 à 14:32:48 :
Est-ce que toute matrice de Mn(C) est somme d'une matrice diagonale et d'une matrice nilpotente?

Si oui, preuve
Si non, contre exemple

Non, flemme