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c'est faux surtout

faut rajouter « et la suite (un) garde un signe constant à partir d'un certain rang »

et dans ce cas ça se fait facilement avec le critère des équivalents

pour le contre-exemple, tu n'as qu'à prendre un = (-1)^n / n^(1/2)

elle converge par le critère des séries alternées

par contre :

ln(1 + un) = (-1)^n / n^(1/2) - 1 / 2 n + o(1 / n)

le premier terme est le terme général d'une série convergente, et le reste est équivalent à -1 / 2 n qui est le terme général d'une série divergente

Le 13 février 2022 à 09:16:03 :
bah si un converge vers un positif c'est simple mais si c'est vers un nombre négatif c'est plus compliqué

ah bon ?

Le 13 février 2022 à 09:17:46 :
pour le contre-exemple, tu n'as qu'à prendre un = (-1)^n / n^(1/2)

elle converge par le critère des séries alternées

par contre :

ln(1 + un) = (-1)^n / n^(1/2) - 1 / 2 n + o(1 / n)

le premier terme est le terme général d'une série convergente, et le reste est équivalent à -1 / 2 n qui est le terme général d'une série divergente

On peut pas juste utiliser lim ln(f(x))=ln(lim f(x)) ?

C'est faux surtout. Tu prends pour n ≥ 2 : u_n = (-1)^n * n^(-1/2)

T'as ln(1+ u_n) = u_n - (1/2)*(u_n)^2 + O((u_n)^3) = u_n - 1/(2*n) + O(n^(-3/2))

Quand tu sommes les u_n ça converge, quand tu sommes les O(n^(-3/2)) ça converge, et le terme du milieu -1/(2*n), ça va diverger, donc la serie des ln(1+ u_n) diverge.

Le 13 février 2022 à 09:17:46 :
pour le contre-exemple, tu n'as qu'à prendre un = (-1)^n / n^(1/2)

elle converge par le critère des séries alternées

par contre :

ln(1 + un) = (-1)^n / n^(1/2) - 1 / 2 n + o(1 / n)

le premier terme est le tg d'une série convergent, et le reste est équivalent à -1 / 2 n qui est le terme général d'une série divergente

attends, du viens de démontrer la proposition est fausse là non ? la proposition : série de terme général convergent si et seulement si série de terme général ln(1+un) convergent

parce qu'elle est vraie, cette proposition

attendez, ça vient p-e de ma formulation :

démontrer que la série de terme général un converge si et seulement si la série de terme général ln(1+un) converge

Le 13 février 2022 à 09:17:46 RueDuKhey a écrit :
pour le contre-exemple, tu n'as qu'à prendre un = (-1)^n / n^(1/2)

elle converge par le critère des séries alternées

par contre :

ln(1 + un) = (-1)^n / n^(1/2) - 1 / 2 n + o(1 / n)

le premier terme est le terme général d'une série convergente, et le reste est équivalent à -1 / 2 n qui est le terme général d'une série divergente

Presque, mais deux suites équivalentes ne donnent pas forcément lieu à des séries de même nature.

Le 13 février 2022 à 09:22:27 Svera a écrit :

Le 13 février 2022 à 09:17:46 :
pour le contre-exemple, tu n'as qu'à prendre un = (-1)^n / n^(1/2)

elle converge par le critère des séries alternées

par contre :

ln(1 + un) = (-1)^n / n^(1/2) - 1 / 2 n + o(1 / n)

le premier terme est le tg d'une série convergent, et le reste est équivalent à -1 / 2 n qui est le terme général d'une série divergente

attends, du viens de démontrer la proposition est fausse là non ? la proposition : série de terme général convergent si et seulement si série de terme général ln(1+un) convergent

parce qu'elle est vraie, cette proposition

Non elle est fausse. Vraie pour une suite de termes positifs.

Le 13 février 2022 à 09:24:12 Svera a écrit :
attendez, ça vient p-e de ma formulation :

démontrer que la série de terme général un converge si et seulement si la série de terme général ln(1+un) converge

Ben c'est faux. Les deux implications sont fausses même.

Le 13 février 2022 à 09:25:01 :

Le 13 février 2022 à 09:22:27 Svera a écrit :

Le 13 février 2022 à 09:17:46 :
pour le contre-exemple, tu n'as qu'à prendre un = (-1)^n / n^(1/2)

elle converge par le critère des séries alternées

par contre :

ln(1 + un) = (-1)^n / n^(1/2) - 1 / 2 n + o(1 / n)

le premier terme est le tg d'une série convergent, et le reste est équivalent à -1 / 2 n qui est le terme général d'une série divergente

attends, du viens de démontrer la proposition est fausse là non ? la proposition : série de terme général convergent si et seulement si série de terme général ln(1+un) convergent

parce qu'elle est vraie, cette proposition

Non elle est fausse. Vraie pour une suite de termes positifs.

ah oui, l'exo est effectivement spécifique aux séries à termes positifs, comme ça se démontre du coup pour le cas des séries à termes positifs ?

désolé khey

Le 13 février 2022 à 09:22:27 :

Le 13 février 2022 à 09:17:46 :
pour le contre-exemple, tu n'as qu'à prendre un = (-1)^n / n^(1/2)

elle converge par le critère des séries alternées

par contre :

ln(1 + un) = (-1)^n / n^(1/2) - 1 / 2 n + o(1 / n)

le premier terme est le tg d'une série convergent, et le reste est équivalent à -1 / 2 n qui est le terme général d'une série divergente

attends, du viens de démontrer la proposition est fausse là non ? la proposition : série de terme général convergent si et seulement si série de terme général ln(1+un) convergent

parce qu'elle est vraie, cette proposition

ben non elle est fausse, je te l'ai dit et je t'ai donné un contre-exemple

si tu trolles, sache que c'est nul et malaisant

si tu trolles pas, sache que le contre-exemple que j'ai donné est le contre-exemple canonique qui figure dans la première page de tout cours au sujet des séries numériques

Le 13 février 2022 à 09:24:19 :

Le 13 février 2022 à 09:17:46 RueDuKhey a écrit :
pour le contre-exemple, tu n'as qu'à prendre un = (-1)^n / n^(1/2)

elle converge par le critère des séries alternées

par contre :

ln(1 + un) = (-1)^n / n^(1/2) - 1 / 2 n + o(1 / n)

le premier terme est le terme général d'une série convergente, et le reste est équivalent à -1 / 2 n qui est le terme général d'une série divergente

Presque, mais deux suites équivalentes ne donnent pas forcément lieu à des séries de même nature.

de quoi tu parles ? j'ai jamais utilisé ça

relis mon contre-exemple et essaie de le comprendre avant de te la ramener

le « reste » dont je parle vaut 1 / 2 n + o(1/n) et on peut utiliser le critère des équivalents puisque cette suite est positive à partir d'un certain rang

shame on you

Le 13 février 2022 à 09:32:00 :
les gars, c'est pour des séries à termes positifs, ne vous battez pas

plus généralement il suffit que (un) garde un signe constant à partir d'un certain rang (négatif à partir d'un certain rang ça marche aussi)

c'est d'ailleurs ce que je t'ai dit dans mon premier post que tu as allègrement ignoré

Le 13 février 2022 à 09:28:02 :

Le 13 février 2022 à 09:25:01 :

Le 13 février 2022 à 09:22:27 Svera a écrit :

Le 13 février 2022 à 09:17:46 :
pour le contre-exemple, tu n'as qu'à prendre un = (-1)^n / n^(1/2)

elle converge par le critère des séries alternées

par contre :

ln(1 + un) = (-1)^n / n^(1/2) - 1 / 2 n + o(1 / n)

le premier terme est le tg d'une série convergent, et le reste est équivalent à -1 / 2 n qui est le terme général d'une série divergente

attends, du viens de démontrer la proposition est fausse là non ? la proposition : série de terme général convergent si et seulement si série de terme général ln(1+un) convergent

parce qu'elle est vraie, cette proposition

Non elle est fausse. Vraie pour une suite de termes positifs.

ah oui, l'exo est effectivement spécifique aux séries à termes positifs, comme ça se démontre du coup pour le cas des séries à termes positifs ?

désolé khey

putain je te l'ai dit dans mon premier post : c'est juste le critère des équivalents