Le paradoxe de Berry est perturbant

On appelle caractère tout symbole utilisé pour écrire des phrases en français, c'est-à-dire les 26 lettres de l'alphabet latin et les symboles de ponctuations.

On considère les nombres entiers (naturels) qui peuvent se définir en utilisant moins de cent caractères. Des exemples de tels nombres sont:

(1) 0 car on peut le définir par la phrase "le plus petit entier" une phrase de 20 caractères.
(2) 1 car on peut le définir par la phrase "le successeur du plus petit entier" 34 caractères.
(3) 10 car on peut le définir par la phrase "le produit de cinq et de deux" 29 caractères.
(4) 666 car on peut le définir par la phrase "la somme des carrés des sept premiers nombres premiers" 54 caractères.

Étant donné qu'il n'y a qu'un nombre fini de caractères, il y a également un nombre fini de phrases composées de moins de cent caractères. Donc, il n'y a qu'un nombre fini d'entiers qui peuvent se définir en moins de cent caractères. Par conséquent, il existe des entiers qui ne peuvent pas se définir en moins de cent caractères, et en particulier il en existe un plus petit. Considérons alors le nombre x défini comme étant "le plus petit entier qui ne peut pas se définir en moins de cent caractères". Par définition, cet entier x ne peut pas se définir en moins de 100 caractères. Sauf que voilà, la phrase utilisées pour le définir:

"le plus petit entier qui ne peut pas se définir en moins de cent caractères"

elle possède 75 caractères, donc moins de 100.

Ainsi, le plus petit entier qui ne peut pas se définir en moins de cent caractères ... peut se définir en moins de cent caractères.

Qu'est-ce qui cloche ?