[MATHS] Petite question simple de "topologie"

Le 12 mars 2023 à 16:45:44 :
topologie et simple dans le même phrase lol

c'est le début du chapitre donc ça doit pas etre le plus dur je pense

Le 12 mars 2023 à 16:46:15 :
Pour visualiser la situation, vous pouvez commencer par représenter l'ensemble E sur un axe en prenant en compte la distance d définie sur R+*. Pour cela, vous pouvez dessiner un graphique de la fonction f(x) = 1/x et noter les valeurs de f(x) pour x appartenant à l'intervalle ouvert (0,1). Ensuite, vous pouvez utiliser cette représentation pour trouver un rayon r qui permet à la boule centrée sur x_0 d'être incluse dans E.

Plus précisément, pour chaque point x_0 dans E, vous pouvez déterminer la distance minimale entre x_0 et les bords de E en utilisant la fonction f(x). Ensuite, vous pouvez choisir un rayon r qui est inférieur à cette distance minimale pour montrer que la boule centrée sur x_0 est incluse dans E.

Par exemple, si x_0 est proche de zéro, la distance minimale entre x_0 et les bords de E est très petite, car la fonction f(x) devient très grande près de zéro. Par conséquent, vous pouvez choisir un petit rayon r pour que la boule centrée sur x_0 soit incluse dans E.

En résumé, pour visualiser la situation et trouver un rayon qui permet à la boule centrée sur x_0 d'être incluse dans E, vous pouvez représenter E sur un axe en prenant en compte la distance d définie sur R+*, utiliser cette représentation pour déterminer la distance minimale entre x_0 et les bords de E, et choisir un rayon r qui est inférieur à cette distance minimale.

ok c'est ce que j'ai fait dans ma tete mais jetais pas sur que ce soit bien ou non

c'est chatGPT ça ? jsp si c'est vrm fiable

Le 12 mars 2023 à 16:47:52 :

Le 12 mars 2023 à 16:46:15 :
Pour visualiser la situation, vous pouvez commencer par représenter l'ensemble E sur un axe en prenant en compte la distance d définie sur R+*. Pour cela, vous pouvez dessiner un graphique de la fonction f(x) = 1/x et noter les valeurs de f(x) pour x appartenant à l'intervalle ouvert (0,1). Ensuite, vous pouvez utiliser cette représentation pour trouver un rayon r qui permet à la boule centrée sur x_0 d'être incluse dans E.

Plus précisément, pour chaque point x_0 dans E, vous pouvez déterminer la distance minimale entre x_0 et les bords de E en utilisant la fonction f(x). Ensuite, vous pouvez choisir un rayon r qui est inférieur à cette distance minimale pour montrer que la boule centrée sur x_0 est incluse dans E.

Par exemple, si x_0 est proche de zéro, la distance minimale entre x_0 et les bords de E est très petite, car la fonction f(x) devient très grande près de zéro. Par conséquent, vous pouvez choisir un petit rayon r pour que la boule centrée sur x_0 soit incluse dans E.

En résumé, pour visualiser la situation et trouver un rayon qui permet à la boule centrée sur x_0 d'être incluse dans E, vous pouvez représenter E sur un axe en prenant en compte la distance d définie sur R+*, utiliser cette représentation pour déterminer la distance minimale entre x_0 et les bords de E, et choisir un rayon r qui est inférieur à cette distance minimale.

ok c'est ce que j'ai fait dans ma tete mais jetais pas sur que ce soit bien ou non

c'est chatGPT ça ? jsp si c'est vrm fiable

évite chatgpt pour les maths, tu vas juste essayer de déchiffrer son raisonnement pour finalement déduire que l'ia est tout sauf rigoureuse et emprunte les pires racourcis

Le 12 mars 2023 à 16:48:00 :
comment tu définis "distance" deja?
j'ai du mal a comprendre ton raisonnement

d(x,y) >= 0
d(x,y)=d(y,x)
d(x,y) = 0 ssi x=y
et IT

Le 12 mars 2023 à 16:49:16 :

Le 12 mars 2023 à 16:47:52 :

Le 12 mars 2023 à 16:46:15 :
Pour visualiser la situation, vous pouvez commencer par représenter l'ensemble E sur un axe en prenant en compte la distance d définie sur R+*. Pour cela, vous pouvez dessiner un graphique de la fonction f(x) = 1/x et noter les valeurs de f(x) pour x appartenant à l'intervalle ouvert (0,1). Ensuite, vous pouvez utiliser cette représentation pour trouver un rayon r qui permet à la boule centrée sur x_0 d'être incluse dans E.

Plus précisément, pour chaque point x_0 dans E, vous pouvez déterminer la distance minimale entre x_0 et les bords de E en utilisant la fonction f(x). Ensuite, vous pouvez choisir un rayon r qui est inférieur à cette distance minimale pour montrer que la boule centrée sur x_0 est incluse dans E.

Par exemple, si x_0 est proche de zéro, la distance minimale entre x_0 et les bords de E est très petite, car la fonction f(x) devient très grande près de zéro. Par conséquent, vous pouvez choisir un petit rayon r pour que la boule centrée sur x_0 soit incluse dans E.

En résumé, pour visualiser la situation et trouver un rayon qui permet à la boule centrée sur x_0 d'être incluse dans E, vous pouvez représenter E sur un axe en prenant en compte la distance d définie sur R+*, utiliser cette représentation pour déterminer la distance minimale entre x_0 et les bords de E, et choisir un rayon r qui est inférieur à cette distance minimale.

ok c'est ce que j'ai fait dans ma tete mais jetais pas sur que ce soit bien ou non

c'est chatGPT ça ? jsp si c'est vrm fiable

évite chatgpt pour les maths, tu vas juste essayer de déchiffrer son raisonnement pour finalement déduire que l'ia est tout sauf rigoureuse et emprunte les pires racourcis

oui je l'utilise pas je sais que c'est nul, pour ça que je demande dou vient son screen qui explique juste ce que j'ai fait dans ma tete

Le 12 mars 2023 à 16:47:52 :

Le 12 mars 2023 à 16:46:15 :
Pour visualiser la situation, vous pouvez commencer par représenter l'ensemble E sur un axe en prenant en compte la distance d définie sur R+*. Pour cela, vous pouvez dessiner un graphique de la fonction f(x) = 1/x et noter les valeurs de f(x) pour x appartenant à l'intervalle ouvert (0,1). Ensuite, vous pouvez utiliser cette représentation pour trouver un rayon r qui permet à la boule centrée sur x_0 d'être incluse dans E.

Plus précisément, pour chaque point x_0 dans E, vous pouvez déterminer la distance minimale entre x_0 et les bords de E en utilisant la fonction f(x). Ensuite, vous pouvez choisir un rayon r qui est inférieur à cette distance minimale pour montrer que la boule centrée sur x_0 est incluse dans E.

Par exemple, si x_0 est proche de zéro, la distance minimale entre x_0 et les bords de E est très petite, car la fonction f(x) devient très grande près de zéro. Par conséquent, vous pouvez choisir un petit rayon r pour que la boule centrée sur x_0 soit incluse dans E.

En résumé, pour visualiser la situation et trouver un rayon qui permet à la boule centrée sur x_0 d'être incluse dans E, vous pouvez représenter E sur un axe en prenant en compte la distance d définie sur R+*, utiliser cette représentation pour déterminer la distance minimale entre x_0 et les bords de E, et choisir un rayon r qui est inférieur à cette distance minimale.

ok c'est ce que j'ai fait dans ma tete mais jetais pas sur que ce soit bien ou non

c'est chatGPT ça ? jsp si c'est vrm fiable

Ca m'a l'air correct

Pour visualiser la situation, tu peux représenter les points de l'ensemble E dans un plan cartésien en prenant l'axe horizontal pour représenter x et l'axe vertical pour représenter y. Ensuite, tu peux dessiner les courbes de niveau de la distance d en traçant les points (x,y) tels que d(x,y) = c pour différentes valeurs de c. Les courbes de niveau sont donc les ensembles de points ayant la même distance d à un point fixé.

Ensuite, pour trouver un rayon r qui permet à ta boule centrée en x_0 d'être incluse dans E, tu peux essayer de trouver une valeur minimale de d pour tous les points de E. Cette valeur minimale te donne le rayon maximal r tel que tous les points de la boule de rayon r centrée en x_0 sont dans E. Tu peux ensuite vérifier que la boule de rayon r/2 centrée en x_0 est bien incluse dans E pour montrer que x_0 est un point intérieur de E.

Il n'y a pas vraiment d'astuce pour se représenter facilement une telle situation, mais en pratiquant et en se familiarisant avec les courbes de niveau de la distance d, tu devrais pouvoir te faire une meilleure idée de la situation.

Le 12 mars 2023 à 16:49:19 :

Le 12 mars 2023 à 16:48:00 :
comment tu définis "distance" deja?
j'ai du mal a comprendre ton raisonnement

d(x,y) >= 0
d(x,y)=d(y,x)
d(x,y) = 0 ssi x=y
et IT

tu veux dire une norme?

Le 12 mars 2023 à 16:49:52 :

Le 12 mars 2023 à 16:49:16 :

Le 12 mars 2023 à 16:47:52 :

Le 12 mars 2023 à 16:46:15 :
Pour visualiser la situation, vous pouvez commencer par représenter l'ensemble E sur un axe en prenant en compte la distance d définie sur R+*. Pour cela, vous pouvez dessiner un graphique de la fonction f(x) = 1/x et noter les valeurs de f(x) pour x appartenant à l'intervalle ouvert (0,1). Ensuite, vous pouvez utiliser cette représentation pour trouver un rayon r qui permet à la boule centrée sur x_0 d'être incluse dans E.

Plus précisément, pour chaque point x_0 dans E, vous pouvez déterminer la distance minimale entre x_0 et les bords de E en utilisant la fonction f(x). Ensuite, vous pouvez choisir un rayon r qui est inférieur à cette distance minimale pour montrer que la boule centrée sur x_0 est incluse dans E.

Par exemple, si x_0 est proche de zéro, la distance minimale entre x_0 et les bords de E est très petite, car la fonction f(x) devient très grande près de zéro. Par conséquent, vous pouvez choisir un petit rayon r pour que la boule centrée sur x_0 soit incluse dans E.

En résumé, pour visualiser la situation et trouver un rayon qui permet à la boule centrée sur x_0 d'être incluse dans E, vous pouvez représenter E sur un axe en prenant en compte la distance d définie sur R+*, utiliser cette représentation pour déterminer la distance minimale entre x_0 et les bords de E, et choisir un rayon r qui est inférieur à cette distance minimale.

ok c'est ce que j'ai fait dans ma tete mais jetais pas sur que ce soit bien ou non

c'est chatGPT ça ? jsp si c'est vrm fiable

évite chatgpt pour les maths, tu vas juste essayer de déchiffrer son raisonnement pour finalement déduire que l'ia est tout sauf rigoureuse et emprunte les pires racourcis

oui je l'utilise pas je sais que c'est nul, pour ça que je demande dou vient son screen qui explique juste ce que j'ai fait dans ma tete

si tu fais de la physique c'est excellent n'empeche
idéal pour poser tes questions les plus pointues

Le 12 mars 2023 à 16:54:51 :

Le 12 mars 2023 à 16:49:19 :

Le 12 mars 2023 à 16:48:00 :
comment tu définis "distance" deja?
j'ai du mal a comprendre ton raisonnement

d(x,y) >= 0
d(x,y)=d(y,x)
d(x,y) = 0 ssi x=y
et IT

tu veux dire une norme?

ah oui je viens de voir sur wikipedia

Le 12 mars 2023 à 17:00:51 :
mais en général le caractère ouvert n'a rien a voir avec une distance non

En dimension infinie si mais en dimension finie non, en dimension finie, toutes les normes sont équivalentes mais en dimension infinie, un ensemble peut être ouvert pour une norme mais fermé pour une autre

Le 12 mars 2023 à 17:03:24 :

Le 12 mars 2023 à 17:00:51 :
mais en général le caractère ouvert n'a rien a voir avec une distance non

En dimension infinie si mais en dimension finie non, en dimension finie, toutes les normes sont équivalentes mais en dimension infinie, un ensemble peut être ouvert pour une norme mais fermé pour une autre

après en dimension infinie c'est rare qu'on n'utilise plus d'une norme a la fois, mais je parlais surtout des distances qui, je pense sont assez inutiles en topologie non?

Le 12 mars 2023 à 17:05:58 :

Le 12 mars 2023 à 17:03:24 :

Le 12 mars 2023 à 17:00:51 :
mais en général le caractère ouvert n'a rien a voir avec une distance non

En dimension infinie si mais en dimension finie non, en dimension finie, toutes les normes sont équivalentes mais en dimension infinie, un ensemble peut être ouvert pour une norme mais fermé pour une autre

après en dimension infinie c'est rare qu'on n'utilise plus d'une norme a la fois, mais je parlais surtout des distances qui, je pense sont assez inutiles en topologie non?

bah dans mon cours c'est comme ça :
pour montrer qu'un ensemble E est ouvert on montre que chaque point est intérieur

et un point x0 est intérieur si il existe un rayon r > 0 tq la boule centré en x0 de rayon r et incluse dans E

Le 12 mars 2023 à 17:10:03 :

Le 12 mars 2023 à 17:05:58 :

Le 12 mars 2023 à 17:03:24 :

Le 12 mars 2023 à 17:00:51 :
mais en général le caractère ouvert n'a rien a voir avec une distance non

En dimension infinie si mais en dimension finie non, en dimension finie, toutes les normes sont équivalentes mais en dimension infinie, un ensemble peut être ouvert pour une norme mais fermé pour une autre

après en dimension infinie c'est rare qu'on n'utilise plus d'une norme a la fois, mais je parlais surtout des distances qui, je pense sont assez inutiles en topologie non?

bah dans mon cours c'est comme ça :
pour montrer qu'un ensemble E est ouvert on montre que chaque point est intérieur

et un point x0 est intérieur si il existe un rayon r > 0 tq la boule centré en x0 de rayon r et incluse dans E

et une boule est définie avec une distance bien sur

Soit (E,d) un espace métrique, f une bijection de E et d' : (x,y) -> d(f(x),f(y)).

Alors d' est une distance sur E (on utilise l'injectivité ici) et B'(x,r) = f^-1(B(f(x),r), avec B' une boule pour d' et B pour d. Comme les boules forment une base de la topologie, on en déduit que f est continue de (E,d') dans (E,d) (on utilise la surjectivité ici). Par symétrie (même raisonnement avec f^-1), f est un homéomorphisme entre (E,d) et (E,d').

Donc une partie A de (E,d') est ouverte ssi f(A) est un ouvert de (E,d). Si f est un homéomorphisme de (E,d), on a donc que les ouverts de (E,d') sont exactement ceux de (E,d) : d et d' induisent la même topologie.

Lorsque E,d,f = R*+,|.|,1/x on est dans ce dernier cas